2.1.3. Синтез несмещенных правил проверим гипотез

Несмещенные правила проверки бинарных гипотез.

При синтезе РНМ несмещенного правила полагается, что в задаче выделены одномерный полезный параметр у, мешающий параметр произвольной конечной размерности и проверяемые гипотезы сформулированы в виде

Обозначим через границу множества где граничное значение полезного параметра, разделяющее гипотезы

Синтез РИМ несмещенного правила состоит из ряда последовательных этапов.

Этап 1. На этом этапе класс несмещенных правил заменяется классом правил, подобных на границе . Такая замена возможна, если функция мощности непрерывна по параметру (см. п. 2.1.1).

Этап 2. На этом этапе неизвестный мешающий параметр заменяется наблюдаемыми значениями статистики Т, достаточной для . Такая замена возможна, если статистика Т имеет полное семейство распределений на границе

Переход от параметра к статистике Т создает необходимые предпосылки для структурной устойчивости получаемого правила и достигается путем перехода от класса к классу правил структуры Неймана. Дадим определение правила структуры Неймана. Пусть для семейства распределений на границе А существует достаточная статистика Т. Тогда правило проверки имеет структуру Неймана относительно Т, если условное математическое ожидание его решающей функции

при всех значениях t статистики Т, когда параметр . Левая часть равенства (2.4) не зависит от параметра в силу достаточности статистики Т для семейства . Все правила структуры Неймана, как это следует из равенства (2.4), подобны на границе .

При полноте семейства распределений статистики Т на границе верно и обратное утверждение, которое дается следующей теоремой [87, 88]. Пусть Т — статистика, достаточная для семейства . Тогда, чтобы все подобные правила имели структуру Неймана, необходимо и достаточно, чтобы семейство распределений статистики Т было полным. Таким образом, в предположении полноты семейства оптимальное подобное правило можно искать в классе

Покажем, что переход к классу позволяет исключить неизвестный мешающий параметр при синтезе оптимального подобного правила. Оптимальное (РНМ) подобное правило определяется условиями:

Пусть для параметра имеется достаточная статистика Т с полным семейством распределений на границе . Тогда согласно теореме о правилах структуры Неймана и тождеству (2.4) условие (2.5) эквивалентно условию

Здесь и далее множество значений статистики Т. Из равенства в котором условное математическое ожидание в правой части не зависит от в силу достаточности статистики Т, получаем эквивалентное выражение условия (2.6) в виде

В условиях (2.7) и (2.8) отсутствует неизвестный параметр и вместо него фигурирует наблюдаемое значение статистики Т. Это позволяет исключить при синтезе РНМ правила параметр путем построения правил с решающими функциями для каждого значения t в отдельности с последующим их объединением в единое правило с решающей функцией

Этап 3. На этом этапе достигается структурная устойчивость в отношении полезного параметра у и устанавливается функциональный вид РНМ несмещенного правила. В соответствии с результатами этапа 2 зафиксируем значение и заменим исходную плотность вероятности плотностью условного распределения наблюдаемого процесса. В терминах условного распределения проверяемые гипотезы формулируются в виде

Для построения правила проверки гипотез (2.9) временно зафиксируем два значения: полезного параметра, что равносильно замене сложных гипотез (2.9) простыми гипотезами

Оптимальное по Нейману — Пирсону правило проверки простых гипотез (имеет, как известно, решающую функцию

где — условное отношение правдоподобия; — порог, определяемый заданным уровнем а вероятности ложной тревоги. Допустим, что семейство условных распределений наблюдаемого процесса имеет монотонное отношение правдоподобия при любых где для конкретности монотонно возрастающая функция. В этом случае, положив получим эквивалентное выражение решающей функции (2.10)

где обратная для функция.

Рассматривая как новый порог L, находим его из условия (2.7). В условие (2.7) не входят значения параметра Поэтому порог L не зависит от и определяется только уровнем а и значением t статистики Т, т. е. является функцией (зависимость порога L от несущественна с точки зрения структурной устойчивости правила, так как априорно известно). Таким образом, решающую функцию (2.11) можно записать в форме

В связи с независимостью решающей функции (2.12) от значения найденное правило структурно устойчиво относительно полезного параметра и максимизирует вероятность правильного обнаружения не только при но и при произвольных значениях . Тем самым правило с решающей функцией (2.12) удовлетворяет (2.7) и (2.8) и является поэтому РНМ правилом структуры Неймана.

Нетрудно проверить, что в случае мойотонности отношения правдоподобия выполняется неравенство

Из неравенства (2.13) следует, что полученное правило имеет заданный уровень а вероятности ложной тревоги при любых , т. е. является правилом структуры Неймана с уровнем а. В силу полноты семейства распределений статистики Т на границе правило с решающей функцией (2.12), в которой заменено совпадает с РНМ подобным правилом уровня а и поэтому согласно этапу 1 является искомым РНМ несмещенным правилом. Итак, получено структурно устойчивое относительно полезного и мешающего параметров РНМ несмещенное правило с решающей функцией

где пороговая функция определяется по заданному уровню а вероятности ложной тревоги из условия (2.7).

При построении РНМ несмещенного правила предполагалось выполнение ряда условий, которые соберем вместе для удобства применения принципа несмещенности.

1. Параметр , характеризующий семейство распределений выборки из наблюдаемого процесса разделяется на полезный y и мешающий параметры.

2. Семейство таково, что функция мощности любого правила непрерывна по параметру

Для мешающего параметра существует достаточная статистика Т.

3. Семейство распределений статистики Т на границе Д проверяемых гипотез является полным.

5. Семейство условных распределений выборки при любом значении t статистики Т имеет монотонное отношение правдоподобия относительно некоторой статистики

Из этих условий наиболее ограничительно требование монотонности отношения правдоподобия семейства Остальные условия обычно выполняются, если в отсутствие сигнала распределения наблюдаемого процесса образуют экспоненциальное семейство. Монотонность отношения правдоподобия семейства часто может быть установлена без вычисления условного распределения на основе следующего результата. Если для полезного параметра имеется достаточная статистика U, т. е. плотность вероятности

и функция монотонна относительно U при всех то семейство имеет монотонное отношение правдоподобия относительно U. Этот результат следует из того, что отношение правдоподобия

Построение пороговой функции РНМ несмещенного правила.

Выражение (2.14) дает общую структуру РНМ несмещенного правила. Для его конкретизации необходимо еще определить пороговую функцию L. В общем случае она ищется из равенства (2.7), которое рассматривается как уравнение относительно L. Однако этот путь часто не приводит к успеху из-за сложностей вычисления в явном виде условной плотности и решения уравнения (2.7). Существуют способы построения пороговой, функции, не требующие вычисления и решения уравнения (2.7). Они устанавливают вид пороговой функции с точностью до некоторой константы, которая далее может быть уточнена при моделировании правила. Один из таких способов дан в гл. 5 монографии [87]. Приведем еще два способа, которые могут быть использованы в случае симметрии семейства распределений на границе А относительно некоторой группы G преобразований пространства X выборок из наблюдаемого процесса.

Пусть некоторая непрерывная функция, возрастающая по и при каждом t. Если 1) семейство симметрично относительно группы G; 2) индуцированная в параметрическое пространство группа G транзитивна в (т. е. для любых найдется такое преобразование что статистика инвариантна относительно группы G (т. е. при всех ), то пороговая функция где обратная для функция; — некоторая константа, не зависящая от наблюдения и определяемая только заданным уровнем вероятности ложной тревоги. Данный способ основан, по существу, на эвристическом отыскании пороговой функции, так как требует знания функции Он удобен, когда надо убедиться в том, что Некоторая функция действительно является пороговой для несмещенного правила.

Следующий способ не предполагает эвристического подхода и дает каноническое построение пороговой функции. Он применим, если 1) семейство симметрично относительно некоторой группы

индуцированная группа G транзитивна в А; 3) при всех статистика правила (2.14) удовлетворяет равенству

где некоторые функционалы, на группе G.

Введем в пространстве значений статистики Т группу индуцированных преобразований g, определенных тождеством где . Показано, что при выполнении условий 1 и 2 и полноте семейства распределений статистики Т на границе А группа G транзитивна в Отображение группы G в группу G без отграничения общности полагаем изоморфным (взаимно-однозначным), так как в противном случае в группе G можно выделить подгруппу, которая изоморфно отображается в группу G и относительно которой симметрично семейство

Зафиксируем некоторое начальное значение статистики Т и возьмем произвольное ее значение . В силу транзитивности группы G найдется такое преобразование , что . Данное преобразование отыскивается путем решения уравнения относительно . Обозначим через прербразование из группы G, которое индуцируется в преобразование и введем статистики

Тогда при выполнении условий 1—3 и полноте семейства 31. пороговая функции

где — константа, определяемая только уровнем а вероятности ложной тревоги. Доказательство выражения (2.17) основано на эквивалентном представлении правила в форме сравнения с постоянным порогом статистики

Такое представление возможно благодаря монотонности статистики V относительно U и ее независимости в вероятностном смысле от Т (независимость от Т есть следствие полноты семейства и подобия статистики V, которая вытекает из условий 1—3, [88]).

Отметим, что выбор начального значения не влияет на функциональный вид пороговой функции вследствие единственности РНМ несмещенного (подобного) правила. От выбора зависит лишь константа k, значение которой все равно уточняется после построения правила в соответствии с заданным уровнем вероятности ложной тревоги. Независимость функционального вида пороговой функции от можно полезно использовать, выбирая так, чтобы упростить решение уравнения относительно g. Единственное требование к выбору значения сводится к тому, чтобы оно не принадлежало собственному подпространству группы G.

Дадим пример использования рассмотренного способа построения пороговой функции. Пусть где двумерное евклидово пространство; , где где . Пусть также условия применения данного способа выполняются для группы . Так как , то Замечая, что находим индуцированную группу Выберем начальное значение и решим уравнение относительно Обозначая через параметры преобразования находим систему уравнений Решая данную систему, получаем

Таким образом, преобразование задается параметрами Поэтому и пороговая функция

Многоальтернативные несмещенные и подобные правила.

Выше была рассмотрена теория несмещенных и подобных правил проверки бинарных гипотез, когда гипотезе сопоставлялась единственная альтернатива . Эту теорию при обобщении критерия Неймана—Пирсона, понятий несмещенности и подобия можно распространить на случай проверки многоальтернативных гипотез [67]. Многоальтернативные гипотезы встречаются в тех случаях, кода требуется не только обнаружить сигнал, но и определить, какой сигнал принят. Например, при локационном обнаружении цели на интервале дальности с указанием элемента разрешения, в котором цель находится, гипотезе об отсутствии цели сопоставляется ряд альтернатив наличии в определенном элементе дальности.

Сопоставим гипотезе альтернативы Ни и будем полагать, что гипотезе отвечает семейство а альтернативам семейства где — мешающий параметр; у — полезный параметр, такой, что при плотность вероятности при всех . В терминах этих семейств распределений гипотеза и альтернативы формулируются в виде

Множества Г и П могут быть произвольными множествами евклидова пространства, единственное требование состоит в том, что является граничной точкой множества Г, но ему не принадлежит. В этом случае граница между гипотезой и альтернативами задается множеством , совпадающим с множеством определяющим гипотезу

Качество правила проверки многоальтернативных гипотез будем характеризовать, следуя критерию Неймана — Пирсона, полной вероятностью правильного обнаружения

при заданном уровне а вероятности ложной тревоги. Здесь и далее D — вероятности правильного решения о выполнении отдельных альтернатив априорные вероятности альтернатив при условии, что гипотеза не выполняется Под ложной тревогой понимается решение о выполнении той или иной альтернативы (все равно какой), когда в действительности верна гипотеза

Обозначим через решающую функцию и через функцию мощности правила проверки гипотез (2.18), где вероятность решения в пользу альтернативы при наблюдении вероятность принятия при значении параметра . Решение об отсутствии какого-либо сигнала при наблюдении принимается с вероятностью Если правило нерандомизированное, то при каждом наблюдении либо все компоненты либо одна из них равна единице, а остальные — нулю. В случае рандомизированного правила причем . В новых обозначениях вероятности правильного обнаружения и вероятность ложной тревоги .

Правило проверки многоальтернативных гипотез называется несмещенным, если его функция мощности удовлетворяет условиям:

Правило называется подобным на множестве , если

Условия (2.19) и (2.20) обобщают на многоальтернативный случай условия несмещенности (2.1) и условие подобия (2.2) правила проверки бинарных гипотез.

В задачах обнаружения априорные вероятности обычно не известны. Поэтому естественно выделить те правила, у которых полная вероятность правильного обнаружения инвариантна к изменению Используя равенство можно установить, что вероятность

инвариантна относительно тогда и только тогда, когда при всех любых . С учетом данного замечания правило считаем оптимальным (РНМ), если при всех :

Многоальтернативные РНМ правила существуют так же редко, как и РНМ правила проверки бинарных гипотез. Однако в довольно широком классе задач, в которых отсутствуют РНМ правила, тем не менее имеются РНМ несмещенные (подобные) правила. Эти правила наряду с условиями (2.21) удовлетворяют еще условиям несмещенности (2.19) или условию подобия (2.20). Все посылки, которые требуются для построения РНМ несмещенных и подобных правил проверки бинарных гипотез, необходимы также и в многоальтернативном случае. Дополнительно к этим посылкам при проверке многоальтернативных гипотез добавляются требование независимости нормирующего множителя плотности вероятности от альтернативы и требование существования такой совокупности взаимно-однозначных преобразований что:

При выполнении указанных посылок существует многоальтернативное РНМ несмещенное (подобное) правило [67]. Решающая функция такого нерандомизированного правила

где T — статистика, достаточная для мешающего параметра , относительно которых монотонны условные отношения правдоподобия плотности условных распределений соответственно при альтернативе и гипотезе не зависят от в силу достаточности Т для ). Пороговая функция правила (2.23) может быть найдена либо из уравнения (2.7), либо одним из приведенных выше способов, при использовании которых надо только положить

Допустимость РНМ несмещенного правила.

РНМ несмещенные правила проверки как бинарных, так и многоальтернативных гипотез обладают важным свойством допустимости. Это свойство означает, что не существует другого структурно устойчивого правила, у которого при том же уровне вероятности ложной тревоги вероятность правильного обнаружения была бы не меньше этой вероятности у РНМ несмещенного правила при всех значениях параметра из области альтернатив [87]. Иначе говоря, если вероятность правильного обнаружения у некоторого правила выше вероятности правильного обнаружения у РНМ несмещенного правила при некоторых значениях параметра, то обязательно найдутся такие значения параметра, при которых она будет меньше, чем у РНМ несмещенного правила, и даже меньше уровня вероятности ложной тревоги. Благодаря свойству допустимости РНМ несмещенных правил принцип несмещенности предпочтительнее других подходов к преодолению априорной неопределенности, если, конечно, для его применения выполняются соответствующие условия.

Локально наиболее мощные (ЛНМ) несмещенные и подобные правила.

В отсутствие РНМ несмещенных (подобных) правил могут оказаться полезными правила, которые максимизируют производную функции мощности при малых значениях полезного параметра. Ограничимся случаем проверки бинарных гипотез и положим, что плотность вероятности факторизуется в виде

где k — нормирующий множитель; у — полезный, возможно многомерный параметр, равный нулю при выполнении гипотезы

Правило называется ЛНМ несмещенным (подобным), если оно удовлетворяет условиям несмещенности (2.1) или условию подобия (2.2) при и для его функции мощности выполняется соотношение

где — размерность полезного параметра заданные весовые множители. Решающая функция несмещенного (подобного) правила задается выражением (2.14), в котором статистика

где

Пороговая функция ЛНМ несмещенного (подобного) правила отыскивается темй же способами, что и у РНМ несмещенного (подобного) правила.