5.4.1. Обнаружение детерминированного сигнал с декоррелицией помехи

Гауссовская модель помехи.

При данной модели предположение о малости сигнала не обязательно. Достаточной для определения отношения правдоподобия (ОП) информацией является корреляционная матрица помехи

имеющая порядок , где — размер наблюдаемой выборки.

Статистика обнаружения, эквивалентная ОП, выражается череэ матрицу обратную в виде [14]

Алгоритм (5.62) можно представить в иной форме:

где

Матрица преобразования удовлетворяет соотношению

Линейное преобразование (5.64) переводит коррелированную выборку помехи в некоррелированную , для которой

Для доказательства (5.67) представим (5.66) в матричном виде

Умножим обе части (5.68) на матрицу В слева, затем на А слева и на справа. В результате получим

что является матричной формой соотношения (5.67).

Согласно (5.63) канал оптимальной обработки состоит (рис. 5.5) из декоррелятора или, иначе, обеляющего фильтра (ОФ) и согласованного

фильтра (СФ), который согласуется с сигналом связанным с ожидаемым по формуле (5.65).

Статистика обнаружения (5.63) при совпадении модели с описываемым процессом распределена нормально с параметрами

При этом выходное отношение сигнал-помеха

Формула (5.69) может быть записана через распределение помеховой выборки:

где

Ниже убедимся, что (5.70) определяет выходное отношение сигнал-помеха и при негауссовских помехах.

Рис. 5.5. Оптимальный обнаружитель детектированного сигнала на фоне коррелированной гауссовской помехи

Марковская модель помехи.

Для определения ОП при -связной марковской модели необходимо знать распределение помехи порядка . При этом отношение правдоподобия выражается соотношением

где — условная плотность вероятностей, соответствующая распределению . Запись формулы (5.71), а также следующих из нее предполагает, что

При гауссовском распределении соотношение (5.71) дает алгоритм оптимальной обработки в следующем виде:

где

— квадратная матрица порядка , обратная корреляционной матрице распределения .

Алгоритм (5.73) является частным случаем (5.63) при

Согласно (5.75) декорреляция помехи осуществляется путем -кратного вычитания, где — порядок следуют алгоритмы декорреляции: при

при

где нормированная корреляционная функция помехи; интервал временной дискретизации.

Рис. 5.6. Асимптотически оптимальный обнаружитель когерентного сигнала для марковской модели коррелированной помехи

При негауссовском распределении учитывая малость отношения сигнал-помеха, разложим в ряд Тейлора по степеням сигнала. Зафиксировав энергию сигнала, порядок модели и устремив получим алгоритм асимптотически оптимальной обработки в виде [51

где

Функции обладают следующими свойствами [5]:

Согласно последнему нелинейная обработка декоррелирует выборку Следовательно, канал обработки, соответствующий агоритму (5.79), представляет собой параллельную комбинацию устройств типа нелинейный декоррелятор—когерентный накопитель (рис. 5.6). Структура декорреляторов определяется по формуле (5.80), а когерентные накопители отличаются временным сдвигом весовых функций.

Алгоритм (5.79) можно представить в виде модификации алгоритма (5.18), оптимального при независимых отсчетах помехи. Для этого необходимо плотность, вероятности разложить в ряд по ортогональным нормированным полиномам с весовой функцией являющейся одномерным распределением помехи. Например, при

где система ортогональных нормированных полиномов с весом

Подставляя (5.82) в (5.79), получаем

Канал обработки, соответствующий (5.84), отличается по структуре от схемы НЭ—СФ дополнительной параллельной цепью, осуществляющей нелинейную декорреляцию и накопление согласно второй сумме в (5.84). При независимых отсчетах дополнительная цепь размыкается, так как в этом случае все коэффициенты за исключением первого в результате чего

Введем в рассмотрение распределение выборки

Моменты статистики (5.79) в условиях ее асимптотической оптимальности выражаются через по формулам

Будем считать, что распределение удовлетворяет условию

При этом для выходного отношения сигнал-помеха (5.3) получаем формулу (5.70).

Представление помехи процессом, порождаемым гауссовским шумом.

Остановимся теперь на структуре оптимального обнаружителя и его характеристиках при задании помехи моделью

где — гауссовский процесс с характеристиками монотонная функция, обратная функция которой неотрицательна.

Будем считать, что порождающий процесс является -связным; — произвольно, но конечно. Данное условие не налагает существенных ограничений на форму корреляции

Алгоритм асимптотически оптимальной обработки при данной модели получаем, подставляя в (5.79) условное распределение в виде нелинейно преобразованной нормальной плотности

Алгоритм имеет вид

- матрица, обратная нормированной корреляционной матрице вектора

Структурная схема канала обработки, соответствующего алгоритму (5.87), показана на рис. 5.7. В схему входят нелинейные элементы с амплитудными характеристиками соответственно,

обеляющие фильтры, весовые накопители. Обратим внимание, что нелинейная обработка определяется исключительно одномерным распределением помехи с которым однозначно связана функция , причем осуществляет нормализацию Обеляющие фильтры рассчитаны на обеление порождающего шума

Рис. 5.7. Асимптотически оптимальный обнаружитель когерентного сигнала для негауссовской коррелированной помехи, формируемой из гауссовского шума

При сильной корреляции помехи алгоритм (5.87) можно упростить, опустив вторую сумму, в которой не используется информация о корреляционной функции помехи.

Если при этом еще заменить в (5.88) случайные коэффициенты Q на средние , то канал обработки примет вид НЭ — обеляющий фильтр — согласованный фильтр, где НЭ имеет нормализующую характеристику. Эффективность такого канала рассматривается в п. 5.6.5.

Выходное отношение сигнал-помеха в данном случае равно [209, 226]

где . Формула (5.89) следует из (5.70) при подстановке в виде

где — -мерная нормальная плотность вероятности.