3.3.5. Характеристики обнаружения случайного гауссовского сигнала

Рассмотрим вначале эффективность полученных минимаксных решающих правил для общего случая обнаружения ВЧ случайного сигнала

на фоне случайного гауссовского шума. Минимаксное правило для этого случая (3.121) запишем в виде

где

Для определения эффективности алгоритма (3.142) необходимо знание плотности вероятности распределения квадратичной формы , где при произвольных фактических значениях параметров .

Известно (см., например, [31]), что при плотность распределения величины и имеет следующий вид:

Здесь собственные значения матрицы (зависящие от собственных значений матрицы ), т. е. корни уравнения — объем входной комплексной выборки; число положительных значений , предполагаемых различными, для которых производится суммирование.

Нетрудно видеть, что в (3.143) при равных положительных значениях имеют место особые точки, которые, как можно показать, являются устранимыми [3, 31].

На основании (3.143) выражение для вероятности правильного обнаружения (а при и вероятности ложной тревоги а) имеет следующий вид [113]:

где индекс указывает на значение X при наличии сигнала.

В частном случае некоррелированных нестационарных сигнала и шума вместо (3.144) имеем

где — отношения диагональных элементов корреляционных матриц сигнала и шума расположенных в убывающей последовательности

В случае малых заданных значений вероятности ложных тревог, таких, что , имеем остается один член суммы:

В качестве примера расчета по формуле (3.146) на рис. 3.8 приведены характеристики обнаружения при ,

. Кривые соответствуют обнаружению слабых (локально-оптимальный обнаружитель) и сильных сигналов. Штриховая кривая, определяющая для каждого у предельные возможности обнаружения сигнала по указанному выше критерию (огибающая вероятности правильного обнаружения), соответствует случаю

Приведенные графики иллюстрируют равномерно наиболее мощные свойства обнаружителей в окрестности , а также относительные потери при Они показывают, в частности, что энергетические потери локально-оптимального обнаружителя при малых и больших Р могут быть весьма значительными.

Рис. 3.8. Характеристики обнаружения некоррелированных нестационарных сигналов

Вместе с тем обнаружитель для сильных сигналов при средних мало уступает по эффективности минимаксному обнаружителю для соответствующих Следует отметить, что в общем случае при значение может не стремиться к единице, причем максимальное значение увеличивается до определенного предела при . Этот предел равен единице, если хотя бы одно из значений равно нулю. В этих случаях решающее правило является состоятельным.

Выражение для характеристики обнаружения становится удобным для расчета и при больших значениях в тех случаях, когда квадратичные формы в (3.142) нормализуются. Тогда вместо (3.144) имеем формулу для через интеграл вероятностей:

Формула (3.147) при приводится к виду, соответствующему случаю обнаружения слабых сигналов.

Формулы могут быть применены и для оценки характеристики обнаружения случайных видеосигналов в тех случаях,

когда выборочные значения могут быть сгруппированы по парам некоррелированных значений с одинаковыми дисперсиями, так что их статистические свойства допускают описание с помощью комплексных эрмитовых корреляционных матриц. При этом аргумент функции в (3.147) следует умножить на коэффициент

При обнаружении стационарных некоррелированных сигналов на фоне стационарного шума (и в случаях, сводящихся к этому) имеется возможность дальнейшего упрощения формул для характеристик обнаружения.

Рассмотрим по-прежнему обнаружение ВЧ сигналов. В этом случае минимаксное правило, аналогичное (3.107), имеет вид

Заметим, что

где — независимые случайные величины, распределенные по закону соответственно с степенями свободы; дисперсии выборочных значений при наличии и отсутствии сигнала; q — энергетическое отношение сигнал-шум в выборочных значениях.

Поэтому характеристики обнаружения для (3.148) определяются из неравенства

где — случайная величина, имеющая -распределение Фишера-Снедекора с параметрами . На основании могут быть получены по формулам

где — интегральная функция -распределения, протабулированная в [74, 137] и др.

Поскольку имеющиеся таблицы для -распределения недостаточно подробны, представляют интерес также следующие формулы для а и , пригодные для непосредственных вычислений [110]:

где

Рассмотрим потери в пороговом сигнале, определяемые выражением

где и q — пороговые отношения сигнал-шум при оптимальном обнаружении на фоне шума с известной и неизвестной дисперсиями соответственно.

Результаты расчета по формулам (3.151) потерь децибеллах) при в зависимости от отношения для некоторых значений представлены на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Зависимость погерь от при обнаружении случайного сигнала

Для и 400 расчет производился по приближенным выражениям, справедливым при больших :

При этом определяется (3.153) при Для кривые потерь построены по асимптотической формуле

которую нетрудно получить из (3.153). Как видно из рис. 3.9, энергетические потери, которыми приходится платить за новое качество — независимость вероятности ложной тревоги от интенсивности шума, — для не превышает 1 дБ при и для при

Характеристики обнаружения видеосигналов анализируются аналогично. В частности, для правила (3.107) вместо (3.150) справедливы формулы

а асимптотическая формула для энергетических потерь (3.154) остается без изменений и в этом случае.

Используя тесную связь между -распределением и -распределением [74], для расчета характеристик оптимального обнаружения стационарных некоррелированных случайных сигналов на фоне аналогичных помех с неизвестной интенсивностью можно воспользоваться также таблицами в [1421 и др. Значения необходимые для расчета пороговых отношений q по известным потерям могут быть взяты из известных источников [14, 116] либо рассчитаны с помощью таблиц типа др.