4.4.3. Правила обнаружения с зависимыми решениями

Основная причина потерь при многоканальном последовательном анализе с независимыми решениями состоит в том, что время, затрачиваемое на завершение эксперимента в тех каналах, где он затянулся, не используется для уточнения принятых решений в остальных каналах. Более эффективны последовательные алгоритмы с зависимыми решениями, в которых решение о прекращении опыта в каждом канале выносится на основании анализа совокупности значений решающей статистики, накопленных во всех каналах. Прекращению такой многоканальной процедуры могут соответствовать различные комбинации состояний статистик в каналах.

Близкой к оптимальной является последовательная процедура, основанная на статистике безусловного отношения правдоподобия, которое в случае обнаружения точно известного числа сигналов отличающихся значением дискретного параметра имеет вид

Здесь — множество индексов каналов, образующих сочетание из по соответствующее одному из возможных расположений сигналов в каналах

— вероятность такого расположения; — отношение правдоподобия, накопленное в канале.

Алгоритм обнаружения, построенный на статистике (4.97), интерпретирует неизвестный параметр как мешающий и осуществляет проверку гипотезы против обобщенной простой альтернативы предполагающей наличие сигналов без указания значений параметров . После принятия на основе статистики решения в пользу максимально правдоподобной оценке параметров обнаруженных сигналов соответствуют индексы тех каналов, в которых накоплены максимальные значения парциальных статистик Для выявления этих каналовнеобходимо произвести ранжировку выборки Индексы ранжированной в порядке убывания выборки в дальнейшем будут иметь обозначения .

Если ранжировка выборки производится непосредственно в ходе наблюдения, критерий обнаружения точно известного числа сигналов может строиться на основе максимальных отсчетов статистики Переход к статистикам экстремальных значений позволяет упростить алгоритм по сравнению с оптимальным, построенным на статистике (4.97). Поскольку вклад в сумму (4.97) каналов, содержащих сигнал, в вероятностном смысле максимален, обнаружители на экстремальных статистиках по мощности мало уступают оптимальным [153]. Однако статистика

не является отношением правдоподобия выборочного вектора поэтому условие продолжения последовательной процедуры, обеспечивающей расчетные вероятности ошибок, в этом случае имеет вид , где А, В — некоторые пороги, отличающиеся от вальдовских. Требуемые вероятности ошибок при вальдовских порогах могут быть обеспечены, если рассматривать как некоторую «промежуточную» статистикувыборочного вектора для которой может быть рассчитано отношение правдоподобия

Ситуации, когда число сигналов, подлежащих обнаружению, точно известно априори, на практике встречаются сравнительно редко. Типичной является задача проверки простой гипотезы об отсутствии хотя бы одного сигнала против односторонней альтернативы предполагающей наличие в -канальной системе некоторого априори неизвестного числа сигналов Оптимальное правило различения таких гипотез должно основываться на статистике, получаемой усреднением отношения правдоподобия (4.97) по распределению параметра

l - априорному либо апостериорному вычисленному на основании оценки I, получаемой в ходе наблюдения. Априорное распределение во многих задачах может приниматься равномерным в интервале иногда есть основания считать его биномиальным или пуассоновским При высокой точности оценки эффективные алгоритмы обнаружения могут быть получены непосредственной подстановкой оценки вместо параметра l в статистику (4.97) (подробнее см. п. 4.3.1).

Наряду с рассмотренными выше строгими методами синтеза возможен эвристический подход к построению последовательных алгоритмов обнаружения неизвестного числа сигналов. Условием окончания опыта в таких алгоритмах должно быть вынесение решения в пользу или во всех без исключения каналах.

Рис. 4.18. Зависимость средней длительности различных процедур принятия решения от числа независимых каналов приема: 1 - обнаружитель Неймана — Пирсона; 2 — обнаружитель Маркуса — Сверлинга (математическое моделирование, сигнал с не зависимыми рэлеевскими флуктуациями)

Обнаружение единственного сигнала. Наболее подробно в настоящее время исследован случай обнаружения единственного сигнала появление которого в любом из каналов равновероятно. При этом

т. е. безусловное отношение правдоподобия представляет собой выборочное среднее парциальных статистик Последовательную процедуру, основанную на статистике (4.99), иногда называют процедурой с игнорированием разрешения [152, 195] или процедурой Маркуса—Сверлинга [156, 169]. Условие прекращения наблюдения для этой процедуры имеет вид — номер шага.

На рис. 4.18 приведены примеры зависимости процедуры Маркуса—Сверлинга, полученные методом математического моделирования. Как следует из графика, абсолютный выигрыш в среднем объеме выборки по сравнению с обнаружителем Неймана—Пирсона в данном случае практически не зависит от числа каналов , относительный выигрыш при составляет 2—3 раза. Этот результат подтверждает возможность построения эффективных последовательных решающих правил при большой априорной неопределенности неизвестного параметра.

В качестве квазиоптимального при обнаружении единственного сигнала часто рассматривают алгоритм, основанный на экстремальной

статистике Возможность перехода от оптимальной статистики (4.99) к экстремальной обусловлена тем, что в момент принятия решения в пользу с большой вероятностью т. е. значение суммы (4.99) в этот момент в основном определяется статистикой канала, в котором обнаружен сигнал:

Из (4.100) непосредственно следует, что условие гарантирующее согласно (4.1) значение а практически эквивалентно условию следовательно,

Вероятность пропуска для процедуры, построенной на статистике , при вальдовском пороге как уже указывалось, отличается от расчетной, определяемой формулой (4.1). Причина отличия в данном случае состоит в том, что в течение всего времени, пока статистика А находится в зоне неопределенности, продолжается накопление парциальных статистик во всех прочих каналах. В результате становится возможным возврат в зону неопределенности случайно вышедшей за нижний порог статистики канала, содержащего сигнал, но одновременно возрастает средняя длительность наблюдения

При оптимальном пороге вероятность пропуска и средняя длительность процедуры на экстремальной статистике близки к соответствующим характеристикам процедуры Маркуса—Сверлинга, однако задача поиска этого порога оказывается довольно сложной [153]. Отношение правдоподобия (4.98) для экстремальной статистики А имеет вид [197]

Легко показать, что в области значений величины примыкающей к верхнему порогу имеет место

сравните с (4.101)].

В области значений , соответствующих принятию гипотезы при вид и параметры функции существенно зависят от слагаемого которое меняется от шага к шагу. В результате расчет оптимальной статистики в области вальдовского порога оказывается ненамного проще расчета оптимального порога В (см. выше).

Таким образом, при построении последовательной процедуры на основе экстремальной статистики неизбежно возникают проблемы, связанные с ее неоптимальностью с точки зрения принятия решения в пользу . С другой стороны, трудности формирования оптимальной статистики (4.99), некоторое время назад являвшиеся серьезным

препятствием к ее практическому использованию, по мере прогресса вычислительной техники становятся все менее существенными [194]. Эту тенденцию следует учитывать при выборе вида решающей статистики для конкретных устройств обнаружения единственного сигнала.

Обнаружение произвольного числа сигналов.

Выше уже отмечалось, что многоканальная схема прежде всего необходима для обнаружения и разрешения нескольких сигналов, наблюдаемых одновременно. Однако при анализе характеристик многоканальных алгоритмов вероятность наличия нескольких сигналов обычно полагают пренебрежимо малой и ограничиваются случаем наблюдения единственного сигнала. Существуют практически важные задачи, где это предположение не выполняется, поэтому параметры многоканальной процедуры при наблюдении нескольких сигналов, число которых априори неизвестно, представляют самостоятельный интерес.

Из известных в настоящее время последовательных алгоритмов для обнаружения произвольного числа сигналов кроме правила с независимыми решениями (см. выше) может применяться правило с одновременными решениями [198]. В соответствии с этим правилом накопление статистик ; во всех каналах продолжается до шага , на котором впервые выполняется условие

т. е. статистика во всех каналах одновременно выйдет из зоны неопределенности. Решение в пользу в каждом канале при этом выносится на основании парциальной статистики что обеспечивает разрешение всех сигналов. При вынесении решения в пользу данное правило эквивалентно правилу, основанному на экстремальной статистике, поскольку условия совпадают. Как и выше, здесь требуется определить зависящий от оптимальный нижний порог при котором обеспечивается расчетное значение поскольку для вальдовского порога имеем и это неравенство усиливается с ростом .

Дополнительные возможности оптимизации алгоритмов различения сложных гипотез дает способ, основанный на использовании для вынесения решения в пользу различных статистик — обнаружения и необнаружения [200]. Ниже такие алгоритмы будем называть алгоритмами с комбинированной решающей статистикой.

Комбинированная статистика, использующая в качестве статистики обнаружения парциальные отношения правдоподобия отдельных каналов, а в качестве статистики необнаружения — обобщенное отношение правдоподобия (4.99) всех каналов, парциальные статистики которых на шаге не пересекли верхний порог, при малых позволяет построить последовательное решающее правило, близкое по эффективности к правилу Маркуса—Сверлинга, сохраняющее разрешение по параметру и не требующее оптимизации нижнего порога. Условие окончания наблюдения для при этом имеет вид

Здесь множество индексов каналов, где число каналов, в которых на шаге .

Очевидно, что при вынесении решения в пользу во всех каналах такая процедура тождественна процедуре Маркуса—Сверлинга, т. е. обеспечивает расчетную вероятность пропуска и минимальную среднюю длительность при вальдовском пороге . Средние длительности этих двух процедур при наличии единственного сигнала также практически совпадают (см. рис. 4.18, 4.19).

На рис. 4.19 приведены полученные методом математического моделирования зависимости средней длительности процедуры и вероятности правильного обнаружения D от числа сигналов I для правил с независимыми решениями и (4.105).

Рис. 4.19. Зависимость средней длительности последовательной процедуры и вероятности правильного обнаружения от числа сигналов : 1 - независимые решения; 2 — правило (4.105); 3 — правило (4.112) (математическое моделирование, сигнал с независимыми рэлеевскими флуктуациями)

Из рисунка следует, что среднее время принятия решения с увеличением I быстро возрастает, причем для процедуры с независимыми решениями этот рост не сопровождается, а для процедуры (4.105) сопровождается увеличением вероятности обнаружения

Поскольку в рассматриваемой задаче увеличение априорной неопределенности, связанной с увеличением l, компенсируется ростом суммарной энергии сигнала в каналах, можно рассчитывать на существование более предпочтительной процедуры со слабой зависимостью и D от неопределенного параметра Действительно, такую процедуру удается построить с использованием оценки неизвестного параметра в ходе Наблюдения.

В процессе наблюдения информация о параметре l содержится в апостериорных вероятностях наличия сигнала в каналах Апостериорная вероятность некоторого числа сигналов

Здесь — то же, что в (4.97), в первом произведении , а во втором сомножителей.

Синтез оптимального алгоритма обнаружения-оценивания, как уже указывалось, включает в себя получение из распределения оценки параметра l и расчет для этой оценки условного распределения На основании распределения при заданном априорном распределении может быть вычислено апостериорное распределение и безусловное отношение правдоподобия

Однако расчет оптимальной статистики (4.107) наталкивается на серьезные математические трудности, связанные со сложностью нахождения максимально правдоподобной оценки l и вычисления оптимальной статистики (4.97). Рассмотрим возможность упрощения этой задачи, основанную на использовании эвристической оценки и статистики экстремальных значений (4.98) вместо оптимальной статистики (4.97).

Пусть имеется ранжированная в порядке убывания выборка значений парциальных решающих статистик . Будем считать появление любого числа сигналов в диапазоне независимым равновероятным событием. При этом каждый член выборки может рассматриваться как максимальный по отношению к членам, имеющим больший индекс. Следовательно, для него может быть рассчитано отношение правдоподобия

Примем в качестве оценки неизвестного параметра число каналов в которых полученные таким образом Эту оценку подставим вместо параметра I в алгоритм, соответствующий точно известному числу сигналов. Статистика (4.98) при этом приобретает вид

где число каналов, в которых индексы членов ранжированной в порядке убывания выборки

Для того чтобы избежать трудностей, связанных с расчетом отношения правдоподобия (4.108) в области нижнего порога (см. выше), целесообразно построить алгоритм обнаружения по принципу

комбинированной статистики. Статистика (4.108), используемая в таком алгоритме только для проверки гипотезы с учетом (4.103) упрощается:

где — число каналов, в которых

Для решения в пользу при этом может использоваться статистика

что обеспечивает в каналах с индексами проверку против альтернативы Ни предполагающей наличие единственного сигнала. Условие прекращения наблюдения для рассматриваемого алгоритма имеет вид

Очевидно, что при вынесении решения в пользу правило совпадает с правилом Маркуса—Сверлинга, а при обнаружении единственного сигнала с учетом (4.101) — с правилом (4.105).

Сравнительно громоздкая операция ранжировки выборки в таком алгоритме необходима только для вычисления статистики обнаружения (4.109). В тех случаях, когда максимальное число сигналов Апах с учетом сходимости при распределений экстремальных значений к предельному (см. п. 4.4.2), зависимостью функций правдоподобия от индекса в выражении (4.108) можно пренебречь. Статистика обнаружения (4.109) в этом случае предельно упрощается:

где — индексы каналов, в которых .

Таким образом, при правило прекращения опыта (4.110) может быть представлено в виде

где — индексы каналов, в которых .

На рис. 4.19 приведены результаты моделирования последовательного алгоритма, использующего решающее правило (4.112). Из рисунка следует, что для этого алгоритма средняя длительность и вероятность обнаружения D не зависят от числа одновременно наблюдаемых сигналов и совпадают с соответствующими характеристиками процедуры Маркуса—Сверлинга, квазиоптимальной при наблюдении единственного сигнала. Вероятность ложной тревоги, т. е. принятия решения в пользу в каналах, не содержащих сигнала, как при отсутствии, так и при наличии сигналов в других каналах не превышает расчетного значения, определяемого вальдовским порогом. Таким образом, эксперимент подтверждает возможность построения эффективных алгоритмов обнаружения-измерения неизвестного числа сигналов на основе рассмотренной эвристической оценки.

В заключение отметим, что в данном разделе всюду для простоты изложения в качестве парциальных рассматривались статистики отношения правдоподобия где k — номер шага последовательной процедуры. С точки зрения, практической реализации предпочтительно накопление парциальной статистики с последующим Преобразованием

Алгоритмы, построенные по принципу комбинированной решающей статистики, имеют в этом смысле дополнительное преимущество, состоящее в том, что в качестве статистики обнаружения могут использоваться величины или их суммы [правила (4.110), (4.112)]. Экспоненциальному преобразованию при этом должны подвергаться значения не во всем их возможном диапазоне, а только значения входящие в статистику необнаружения; соответственно уменьшается разрядность устройства, вычисляющего