2.4.5. Обнаружение сигналов в шумах с неизвестным распределением

В задачах обнаружения встречаются случаи, когда отсутствуют сведения о функциональном виде распределения шумов. Иногда неизвестен также характер взаимодействия сигнала и шума. В таких случаях полезны непараметрические методы обнаружения. Ниже на основе принципа инвариантности получены непараметрические правила контрастного обнаружения сигнала. Обнаружение производится по двум классифицированным выборкам независимых наблюдений, одна из которых (шумовая) содержит только шум, а вторая (сигнальная) — либо шум, либо смесь сигнала и шума. Распределение шума полагается произвольным по форме, но имеющим плотность вероятности. Считается, что присутствие сигнала приводит к стохастическому возрастанию сигнальной выборки по сравнению с шумовой.

Обозначим через шумовую и через сигнальную выборку. Наблюдения шумовой выборки полагаем независимыми между собой и имеющими одинаковое распределение Наблюдения сигнальной выборки также принимаем независимыми с одинаковым распределением -Задача обнаружения сигнала при сделанных предположениях формулируется как задача проверки непараметрических гипотез

Здесь неравенством отражается тот факт, что значения функции распределения превышают соответствующие значения функции распределения , т. е. отражается стохастическое превышение сигнальной выборки над шумовой. Выделим два варианта этой задачи: 1) сигнальная выборка состоит из единственного наблюдения шумовая выборка состоит из единственного наблюдения х. Вторые выборки в этих задачах могут состоять из произвольного конечного числа наблюдений.

Для построения правила обнаружения вбспользуемся принципом инвариантности, так как задача (2.78) симметрична относительно группы где произвольная неубывающая функция. Данная группа отражает неопределенность функций распределений и не нарушает стохастического превышения сигнальной выборки над шумовой. Для этой группы МИ является ранговая статистика составленная из рангов наблюдений совместной выборки в первом варианте задачи, и ранговая статистика составленная из рангов наблюдений совместной выборки во втором варианте задачи. Из соображений достаточности можно ограничиться только рангом R наблюдения у в первом варианте и рангом R наблюдения во втором варианте. Семейство распределений ранга R имеет монотонное отношение правдоподобия. Поэтому существуют РНМ инвариантные правила обнаружения в указанных задачах с решающей функцией

где U(R) = R для первого варианта и для второго варианта задачи. Правила (2.79) рандомизированы так как при целочисленных значениях ранга R произвольный уровень вероятности ложной тревоги нельзя получить без рандомизации процедуры принятия решения.

Правила (2.79) обеспечивают стабильную вероятность ложной тревоги при любом распределении шума и максимальную вероятность правильного обнаружения, если присутствие сигнала вызывает стохастическое возрастание сигнальной выборки. Правило (2.79) при многократных сигнальных наблюдениях можно рекомендовать для некогерентного обнаружения нефлуктуирующей пачки импульсов в шумах с неизвестным распределением. В этом случае сигнальная выборка формируется из отсчетов огибающей наблюдаемого процесса, взятых в каждом периоде следования импульсов пачки. В качестве шумового наблюдения можно взять, например, отсчет огибающей этого колебания в момент времени, предшествующий появлению пачки импульсов.

Структурная схема обнаружителя, реализующего данное правило, приведена на рис. 2.21. На этом рисунке АД — амплитудный детектор; УР — устройство ранжирования и формирования статистики U(R); Т — период следования импульсов. Правило (2.79) при однократном сигнальном наблюдении целесообразно использовать как правило квантования наблюдений на два уровня при бинарном накоплении пачки импульсов. В этом случае наблюдение у формируется как отсчет колебания на выходе амплитудного детектора в конце каждого импульса пачки, а шумовые наблюдения образуются из отсчетов шума вблизи сигнального отсчета. В результате применения такого правила квантования формируются бинарные случайные величины с устойчивым распределением, не зависящим от распределения шума. Благодаря этому создаются необходимые предпосылки для стабилизации вероятности ложной тревоги на этапе накопления бинарно-квантованных величин.

Бинарное накопление квантованных величин может быть получено на основе принципа инвариантности как правило обнаружения пачки импульсов на втором этапе, если под первым этапом понимать бинарное квантование наблюдений. В результате бинарного квантования образуется последовательность случайных величин принимающих значение 1 с вероятностями

Рис. 2.21. Структурная схема рангового обнаружителя пачки импульсов в шумах с неизвестным распределением

и значение 0 с вероятностями . В отсутствие сигнала все вероятности , где а — стабильное значение вероятности ложной тревоги правила (2.79). При наличии сигнала вероятности так как стохастическое возрастание сигнального отсчета у увеличивает вероятность формирования единицы на этапе квантования. Таким образом, задача обнаружения на втором этапе равносильна задаче проверки статистических гипотез

Вероятности при наличии сигнала неизвестны и в общем случае различны, так как импульсы в пачке могут иметь произвольные замирания. Поэтому необходимо правило обнаружения, устойчивое к изменению вероятностей

Рис. 2.22. Структурная схема обнаружителя с бинарным накоплением импульсов при неизвестном распределении шума

При независимости квантованных величин задача проверки гипотез (2.80) симметрична относительно группы перестановок величин (индуцированная группа также состоит из перестановок величин . Непосредственной проверкой убеждаемся, что МИ этой группы является статистика Семейство распределений статистики U(Z) обладает монотонным относительно отношением правдоподобия [87]. Поэтому существует РНМ инвариантное правило. Его решающая функция

где а — заданный уровень вероятности ложной тревоги на этапе накопления; — параметр рандомизации.

Объединяя правила (2.79) и получаем правило обнаружения пачки импульсов при бинарном квантовании наблюдений. Это правило обеспечивает стабильный уровень вероятности ложной тревоги при любом распределении шума благодаря стабилизации вероятности формирования единицы на этапе квантования в отсутствие сигнала и высокую вероятность правильного обнаружения, так как на каждом этапе используются РНМ правила. При этом вероятность правильного обнаружения инвариантна к таким замираниям импульсов пачки, которые приводят к перестановке вероятностей квантованных наблюдений. Структурная схема обнаружителя дана на рис. 2.22. На этом рисунке — амплитудный детектор; УР — устройство ранжирования, формирующее ранг R сигнального наблюдения; РУ — решающее устройство, функционирующее по правилу (2.79). Штрихпунктирной линией выделен блок бинарного квантования.

Расчет эффективности данного обнаружителя показывает его в высокую устойчивость к распределению шума. Потери в пороговом отношении сигнал-шум обнаружителя по сравнению с бинарным накоплением в шумах с известными характеристиками быстро убывают с увеличением размерности шумовой выборки и числа накапливаемых импульсов. При числе накапливаемых импульсов больше 20—30 эти потери не превосходят 2 дБ практически для всех часто встречающихся распределений на выходе амплитудного детектора (см. рис. 2.7).