1.5.3. Многоканальный прием разрывных сигналов

Найдем характеристики многоканального обнаружения разрыв сигналов с неизвестными параметрами. Отметим, что, как при обнаружении одного разрывного сигнала (§ 1.3), вопрос об асимптотической оптимальности приемника максимального правдоподобия остается открытым.

Пусть полезный сигнал определяется формулой (1.230) и принимается на фоне гауссовской помехи с корреляционной матрицей (1.231). Сигнал (1.230) будем называть разрывным, если для его сигнальной функции выполняется (1 121). Тогда характеристики обнаружения сигнала приемником максимального правдоподобия можно найти из результатов п. 1.3.2. Для этого достаточно в (1.130), (1.152) подставить отношение сигнал-шум из (1.233). Естественно, оптимальное распределение суммарной энергии разрывного сигнала между v каналами будет таким же, как для дифференцируемого сигнала

Рассмотрим далее характеристики обнаружения разрывного радиосигнала при передаче его по v каналам с медленными замираниями. Полагаем при этом, что огибающая сигнальной функции и ее квадратуры для разрывного сигнала (1.239) удовлетворяют соотношениям Найдем вероятности ошибок рода при использовании приемника максимального правдоподобия (1.242).

При отсутствии полезного сигнала логарифм ФОП (1.244) представляет собой реализацию стационарного случайного процесса. Одномерную плотность вероятности этого процесса получаем, интегрируя (1.253) по у в бесконечных пределах:

Коэффициент корреляции процесса , где огибающая сигнальной функции (1.110). При этом согласно при

Для расчета вероятности ложной тревоги (1.57) надо найти функцию распределения абсолютного максимума при . Точное выражение для неизвестно. Однако, используя результаты [511, можно найти асимптотически точное выражение для справедливое при

Рассмотрим с этой целью стационарный случайный процесс , с плотностью вероятности

и коэффициентом корреляции . Согласно [39, 45] процесс является марковским с коэффициентами сноса и диффузии Марковский процесс с такими коэффициентами может быть определен как решение симметризованного стохастического дифференциального уравнения [3, 41]

Здесь гауссовский белый шум, для которого Перейдем к процессу который может быть получен из решения уравнения

Для марковских процессов, удовлетворяющих стохастическому дифференциальному уравнению вида (1.265), в [41] найдена приближенная формула (1.171). Применительно к процессу в (1.171) надо положить стационарная плотность вероятности процесса , а Таким образом,

Удерживая лишь первый член в асимптотическом разложении этого интеграла при получаем

Следовательно, при больших Н из (1.171) и (1.266) находим

Полагая здесь приходим к аналогичному результату для рэлеевского марковского процесса (1.174). Как следует из вывода формулы (1.171) в [41], точность приближенной формулы (1.267) растет с увеличением Т и Н. Поэтому, переходя в (1.267) к процессу при можем записать

Введем далее в рассмотрение стационарный случайный процесс с плотностью вероятности (1.264) и коэффициентом корреляции . Потребуем, чтобы при По аналогии с [59] и п. 1.3.3 назовем процесс локально-марковским, так как на малых интервалах времени статистические характеристики процессов асимптотически совпадают. Заметим, что реализации процессов непрерывны с вероятностью единица.

В работах, посвященных проблеме пересечений [25, 40, 59, 60 и др.], неоднократно отмечается, что вероятностные характеристики пересечений реализацией случайного процесса высокого уровня определяются лишь локальными свойствами этого процесса. В частности, асимптотически совпадают вероятностные характеристики непревышения достаточно высокого уровня марковским и локально-марковским процессами. Для случая гауссовских марковского и локально-марковского случайных процессов это совпадение отмечалось в п. 1.3.3. Действительно, в силу непрерывности с вероятностью единица реализаций марковского и локально-марковского процессов длительность отрезков реализаций этих процессов, превышающих некоторый уровень , при стремится к нулю. Таким образом, по крайней мере для процессов с непрерывными реализациями вероятность непревышения уровня , когда определяется лишь локальными свойствами процесса. Об этом также свидетельствуют все конкретные результаты по определению вероятностных характеристик пересечений [25, 40, 60 и др.]. Следовательно, для локально-марковского процесса при аналогично (1.174), (1.175) можно записать

Перейдем к локально-марковскому процессу (1.244) с плотностью вероятности (1.262) и коэффициентом корреляции (1.263). Получаем, что при

где .

Для конечных значений m и будем аппроксимировать его предельным значением. Поскольку правая часть (1.268) является неубывающей функцией лишь при , аналогично (1.59) используем аппроксимацию

Согласно (1.57) и (1.269) приближенное выражение для вероятности ложной трероги запишется так:

Точность этой формулы возрастает с увеличением порога с и параметра .

Полагая, что полезный сигнал (1.239) присутствует на входе обнаружителя, найдем условную вероятность пропуска сигнала

. Для этого, как и ранее (п. 1.2.1 и др.), разобьем априорный интервал определения неизвестного параметра d на подобласти . При этом когда . Пусть и значения абсолютных максимумов (1.242) в подобластях . Тогда при вероятность пропуска можно представить в виде (1.64).

Приближенные значения вероятности в (1.64) при можно записать как где определяется из (1.269).

Для расчета представим в виде суммы сигнальной и шумовой функций:

где

причем усреднение выполняется по реализациям помехи при фиксированных отношение сигнал-шум для принятого сигнала (1.256). Функция (1.271) достигает максимума при , а реализации шумовой функции непрерывны с вероятностью единица. Поэтому при больших отношениях сигнал-шум достаточно исследовать поведение в малой окрестности

Здесь распределение шумовой функции при фиксированных приближается к гауссовскому.

Обозначим При для функций (1.271), (1.272) с помощью получаем

Далее рассмотрим вероятность которая при асимптотически совпадает с . Выберем фиксированное настолько малым, чтобы для функций (1.271), (1.272) были справедливы аппроксимации

Аналогично (1.134) можем записать

где . При величина представляет собой реализацию гауссовского случайного процесса с функцией корреляции

Отсюда следует, что реализация гауссовского марковского случайного процесса. Когда значения этого процесса на неперекрывающихся интервалах статистически независимы. Коэффициенты сноса и диффузии процесса равны

Повторяя выкладки п. 1.3.2 для (1.273), получаем формулу (1.150), где теперь

совпадает с . Следовательно, при больших отношениях сигнал-шум

Подставляя в (1.64) найденные значения , получаем

при

Таким образом, при многоканальном обнаружении разрывного радиосигнала с неизвестным неэнергетическим параметром характеристики обнаружения могут быть рассчитаны по (1.270), (1.274). Точность этих формул возрастает с увеличением