7.3.3. Гарантированные характеристики обнаружения

Фиксация уровня ложных тревог в широких классах распределений помех является ценным качеством непараметрических обнаружителей. Однако заданное качество функционирования информационной

системы, включающей в свой состав обнаружители, и при фиксированном уровне ложных тревог может быть достигнуто лишь тогда, когда вероятность обнаружения сигнала оказывается не ниже определенного минимума. И если для шума с произвольным распределением из определенного непараметрического класса вероятность ложной тревоги известна и равна заданному фиксированному значению, то вероятность обнаружения оказывается в значительной степени зависящей от конкретного вида функции распределения шума; отклонение формы фактически принимаемого сигнала от ожидаемой ведет к дополнительному снижению вероятности обнаружения.

Для правильного выбора структуры и параметров информационной системы при ее проектировании, а также для оценки возможностей использования системы в различных ситуациях целесообразно определить условия, при которых вероятность обнаружения сигналов оказывается не ниже заданного уровня.

Будем характеризовать условия функционирования обнаружителя К заданием класса возможных принимаемых сигналов S, содержащего как ожидаемый сигнал s, так и отличающиеся от s (например, вследствие воздействия дестабилизирующих факторов) сигналы s. и подкласса плотностей помех содержащего ожидаемую плотность W и отличающиеся от нее плотности . Будем полагать, что или в зависимости от типа исследуемого обнаружителя.

Пусть есть характеристика обнаружения сигнала на фоне помехи с плотностью обнаружителем К, где обозначает вероятность ложной тревоги, есть отношение сигнал-шум.

Определим гарантированную характеристику обнаружения сигналов [281] класса S на фоне помех с плотностями из подкласса в виде функции обладающей следующими свойствами

Если обнаружитель К при всех сигналах s и плотностях является состоятельным, то гарантированные характеристики обнаружения всегда существуют, но не определяются однозначно.

Пусть две различные гарантированные характеристики обнаружения. Будем называть характеристику равномерно лучшей характеристики в области Г значений , если в этой области выполняются соотношения

Гарантированную характеристику обнаружения, для которой не существует равномерно лучшей в области всех возможных значений а и будем называть наилучшей.

Из этого определения и неравенства (7.64) следует, что наилучшая гарантированная характеристика обнаружения содержит точки, совпадающие с точками характеристик обнаружения некоторых сигналов на фоне помех с конкретными плотностями при этом каждой точке наилучшей гарантированной характеристики обнаружения соответствуют такие сочетания s и W, при которых вероятность обнаружения минимальна. Иначе говоря, наилучшая гарантированная характеристика обнаружения может быть определена соотношением

Если — гарантированные характеристики обнаружения и равномерно лучше в области значений а и равномерно лучше в другой области то гарантированная характеристика обнаружения , равномерно лучшая в объединенной области определяется соотношением

Пусть ранговый обнаружитель (7.15), асимптотически оптимальный для сигнала s и плотности W, используется для обнаружения сигнала на фоне шума с плотностью Тогда в соответствии с (7.46) характеристики обнаружения имеют форму

где

Величину q будем называть обобщенным отношением сигнал-шум по переменной составляющей.

Соотношение (7.66) показывает, что вероятность обнаружения является монотонной функцией обобщенного отношения сигнал-шум. При фиксированных значениях а и q вероятность обнаружения достигает минимума при таких значениях s и №, которым соответствует минимум величины называемой в дальнейшем параметром отношения сигнал-шум. Параметр отношения сигнал-шум можно представить в форме где

При фиксированной структуре обнаружителя , зависит только от принимаемого сигнала s, а — только от плотности действующего шума . Поэтому для отыскания глобального минимума параметра

отношения сигнал-шум достаточно найти минимумы величин , и в отдельности.

Вычисление минимума коэффициента корреляции сводится к отысканию минимума функции переменных или, при достаточно малом шаге дискретизации, минимума соответствующего функционала

где

Для определения минимума величины a достаточно вычислить минимум функционала

полученного подстановкой значения из (7.42) в (7.68) и заменой переменной при условиях ограниченности количества информации Фишера для плотности W и нормировании и неотрицательности этой плотности.

Определив глобальный минимум параметра отношения сигнал-шум и используя определение (7.65), можно написать аналитическое выражение для семейства наилучших гарантированных характеристик обнаружения в форме

справедливое при любых а,

Аналогично можно показать, что наилучшие гарантированные характеристики обнаружения знаково-рангового обнаружителя также определяются соотношением (7.69), если параметр отношения сигнал-помеха определять по формуле

Таким образом, построение гарантированных характеристик обнаружения непараметрических обнаружителей сводится к отысканию минимума параметра отношения сигнал-шум. Этот параметр может быть представлен в виде произведения двух функционалов, один из которых зависит только от формы принимаемых сигналов, а другой — только от плотности действующего шума.

В отдельных случаях, связанных с возможностью представления вероятности обнаружения в виде функции многих переменных, зависящей

от одного случайного параметра, построение гарантированных характеристик обнаружения непараметрических обнаружителей можно выполнить, используя неравенство Чебышева.

Для иллюстрации этой идеи определим гарантированные характеристики обнаружения знакового обнаружителя постоянного сигнала

Алгоритм обнаружения представим в традиционной форме

где — функция единичного скачка; порог С связан с фиксируемым значением вероятности ложной тревоги уравнением

Характеристики обнаружения знакового обнаружителя (7.70) имеют вид

где — вероятность наличия положительных знаков у элемента выборки при наличии сигнала.

Вероятность обнаружения является неубывающей функцией переменной Поэтому для построения гарантированных характеристик обнаружения достаточно определить значение не превосходящее нижней границы возможных значений при действии помехи с произвольной плотностью и фиксированном отношении сигнал-шум

Воспользовавшись неравенством Чебышева в форме и учитывая, что при получаем

Подставив полученное значение в (7.70), определим гарантированные характеристики обнаружения знакового обнаружителя

В [271] проведено сравнение гарантированных характеристик обнаружения (7.72) с характеристиками обнаружения, построенными для помех с нормальным, равномерным и лапласовским распределениями для ряда возможных значений . Результаты сравнений подтверждают целесообразность использования гарантированных характеристик обнаружения для оценки качества обнаружителей сигналов.