1.3.3. Разрывный узкополосный радиосигнал с одним неизвестным параметром

Пусть полезный сигнал описывается формулой (1.104), где — неизвестные неэнергетические параметры. Положим, что сигнал (1.104) принимается на фоне белого гауссовского шума с двусторонней спектральной плотностью Тогда член логарифма функционала отношения правдоподобия, зависящий от наблюдаемых данных можно записать как [42]

Согласно определению приемник максимального правдоподобия должен вырабатывать величину . Максимизируя (1.159) по неизвестной начальной фазе, находим выходной сигнал приемника

где

Решение о наличии полезного сигнала принимается, если

Рассмотрим вначале некоторые свойства выходного сигнала приемника максимального правдоподобия при приеме разрывного радиосигнала. При наличии полезного сигнала (1.104)

а при его отсутствии

Здесь

- нормированные квадратуры шумовой функции [27], которые представляют собой реализации гауссовских случайных процессов;

, отношение сигнал-шум определяются формулами (1.105), (1.106) и (1.110) при подстановке в них функции При этом [27]

Так как параметр предполагается неэнергетическим, то отношение сигнал-шум не зависит от

Будем называть радиосигнал (1.104) разрывным по параметру если при

так, что функция не имеет второй производной при . Ограничимся рассмотрением класса разрывных радиосигналов, для которых кроме (1.64) при выполняется соотношение

Из определения функции имеем, что при выполнении (1.164), (1.165) и должно выполняться соотношение

Поскольку функция автокорреляции для , то из (1.166) следует, что (1.163) представляют собой стационарные гауссовские локально-марковские случайные процессы [59].

Покажем, что при выполнении является стационарным рэлеевским локально-марковским процессом. Для этого введем в рассмотрение стационарный рэлеевский марковский процесс , где — независимые гауссовские процессы, - для которых

Пусть Запишем двумерную плотность вероятности процесса

Двумерная плотность вероятности рэлеевского марковского процесса определяется также формулой (1.168) при замене в ней

на (1.167). Поскольку при имеем т. е. (1.164), (1.166) и (1.167) асимптотически совпадают при то, учитывая, что (1.165) обеспечивает локальную независимость процессов получаем асимптотическое совпадение плотностей вероятности . Таким образом, на малых интервалах значений параметра статистические характеристики процессов одинаковы. Учитывая также, что стационарные гауссовские локально-марковские процессы, можем утверждать, что стационарный рэлеевский локально-марковский случайный процесс. Заметим, что в данном случае достаточно анализа асимптотического поведения двумерной плотности вероятности, так как речь идет о марковском процессе, полное статистическое описание которого задается вероятностью перехода или двумерной плотностью вероятности [41, 44]. Квадратуры локально-марковского рэлеевского процесса так же как и сам процесс, недифференцируемы. Тем не менее реализации процессов непрерывны с вероятностью 1 [25], как и реализации марковских процессов диффузионного типа [49].

Согласно [40, 59] вероятностные характеристики превышения до: статочно высокого уровня для марковского и локально-марковского процессов асимптотически совпадают. Действительно, в силу непрерывности реализаций марковского и локально-марковского процессов длительность отрезков реализаций этих процессов, превышающих некоторый уровень Н, при стремится к нулю. Следовательно, при вероятность непревышения уровня Н определяется лишь локальными свойствами процесса.

Проиллюстрируем это утверждение на примере двух гауссовских стационарных процессов: марковского и локально-марковского. Функция корреляции гауссовского марковского процесса определяется формулой

Примером гауссовского локально-марковского процесса может служить шумовая функция в п. 1.3.2, функция корреляции которой допускает представление (1.121). Асимптотическое выражение для функции распределения абсолютного максимума реализаций гауссовского марковского процесса с функцией корреляции (1.169) найденов 141]. Это выражение совпадает с (1.128), хотя формула (1.128) получена в [60] без использования локально-марковских свойств процесса с функцией корреляции (1.121).

Таким образом, поскольку помеха на выходе приемника максимального правдоподобия является локально-марковским процессом, то при больших значениях Н

Как известно [41, 44], нестационарная плотность вероятности марковского процесса удовлетворяет уравнению Фоккера—Планка.

В результате решения этого уравнения при соответствующих граничных условиях в [41] получена приближенная формула

где

а стационарная плотность вероятности случайного процесса которая совпадает с плотностью вероятности процесса (1.162). Формула (1.171) получена в [41] для Очевидно, последнее условие для рэлеевского процесса выполняется, когда Значение в (1.172) выбирается в области максимальной вероятности значений процесса , так что положим . Тогда (1.172) принимает вид

Удерживая лишь первый член в асимптотическом разложении этого интеграла при получаем

Значит при больших значениях согласно (1.170), (1.171), (1.173)

где . При этом, как следует из вывода формулы (1.171) в [41], точность приближенной формулы (1.174) растет с увеличением , т. е. при

Эта формула определяет асимптотическое поведение функции распределения абсолютного максимума помехи (1.162) на выходе приемника максимального правдоподобия.

Приемник максимального правдоподобия выносит решение о наличии или отсутствии полезного сигнала (1.104) на основе сравнения абсолютного максимума при с порогом с. Вероятности ошибок рода по-прежнему, определяются соотношениями (1.56), где , — значения абсолютного максимума соответственно при отсутствии и наличии полезного сигнала. Для определения вероятности ложной тревоги (1.57) надо найти функцию распределения абсолютного максимума случайного процесса . Если принимается радиосигнал, разрывный по параметру в смысле , то при функция распределения

деления определяется из (1.175). Для конечных значений будем аппроксимировать распределение его предельным значением. Поскольку правая часть (1.175) является неубывающей функцией Н лишь при Н аналогично (1.59) используем аппроксимацию

Согласно (1.57) и (1.176) приближенное выражение для вероятности ложной тревоги принимает вид [50]

Точность этой формулы возрастает с увеличением нормированного порога и и параметра т.

Предполагая, что полезный сигнал присутствует на входе приемника, определяем теперь вероятность пропуска сигнала Обозначим А интервал корреляции процессов при этом когда . Пусть и — величины абсолютных максимумов на тех же интервалах, что и в п. 1.3.2. Тогда при вероятность пропуска можно опять представить в виде (1.64). Приближенное значение вероятности в этой формуле можно записать аналогично (1.131), где теперь определяется из (1.156). Случайная величина причем . В выражении для когда функция .

Поэтому при больших отношениях сигнал-шум выражение (1.161) можно приближенно переписать как [27]

При фиксированных шумовая функция является реализацией гауссовского процесса с нулевым средним значением и функцией корреляции [27]

Функция достигает максимума при а реализации шумовой функции непрерывны с вероятностью 1. Поэтому при больших отношениях сигнал-шум для определения достаточно исследовать поведение в малой окрестности , где выполняется (1.164). Соответственно для функции корреляции (1.179), когда в малой окрестности с помощью (1.164)- (1.166) получаем

Далее рассмотрим распределение , выбрав настолько малым, что для функций (1.176) и (1.179) справедливы аппроксимации

Согласно (1.164) и (1.180) всегда можно подобрать такое , что при аппроксимации (1.181) обладают необходимой точностью. Повторяя выкладки п. 1.3.2, приходим к формуле (1.150), где совпадает с Однако при некогерентном приеме плотность вероятности значения отличается от гауссовской (1.140) и описывается выражением [42]

— функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка. Подставим в из (1.145) и из (1.182). Рассуждая аналогично п. 1.3.2, находим, что при больших, но конечных отношениях сигнал-шум в случае некогерентного приема.

Здесь нормированный порог, — функция Маркума (1.118). Подставляя найденные значения в (1.64), получаем приближенное выражение для вероятности пропуска разрывного радиосигнала

если и , если . Точность формулы (1.184), как и формулы (1.177), растет с увеличением .

Конкретизируем полученные общие соотношения (1.177) и (1.184) применительно к обнаружению узкополосного радиоимпульса с прямоугольной огибающей и неизвестным временньш положением

При приеме этого сигнала на фоне белого шума

Будем считать, что неизвестное временное положение сигнала (1.185) может принимать значения из интервала . Тогда характеристики обнаружения сигнала (1.185) приемником максимального правдоподобия получаем, подставляя в (1.177), (1.184) значение

На рис. 1.17 приведена зависимость средней вероятности ошибки при обнаружении сигнала (1.185) приемником максимального правдоподобия (кривая ). Зависимость рассчитана по (1.177), (1.184) при нормированном пороге оптимальном по критерию идеального наблюдателя для сигнала с известными параметрами. Кроме того, полагалось

Для сравнения на рис. 1.17 приведена зависимость средней вероятности ошибки обнаружения радиосигнала (1.185) при когерентном приеме (кривая 2).

Эта зависимость рассчитана по (1.130), (1.152) и соответствует кривой на рис. 1.15. Сравнение кривых 1 и 2 на рис. 1.17, а также сопоставление формул (1.177) и (1.184) с формулами (1.130), (1.152) позволяют оценить потери из-за незнания начальной фазы радиосигнала (1.185). Проигрыш в эффективности обнаружения разрывного радиосигнала с неизвестным временньш положением из-за незнания начальной фазы растет с увеличением отношения сигнал-шум.

Оценим далее проигрыш в эффективности обнаружения сигнала (1.185) из-за незнания его временного положения. При обнаружении радиосигнала, у которого неизвестна только начальная фаза, вероятности ошибок [42]

Зависимость средней вероятности ошибки от отношения сигнал-шума рассчитанная по (1.187), представлена на рис. 1.17 кривой 3. Из сравнения кривых и 3 рис. следует, что проигрыш в эффективности обнаружения сигнала (1.185) из-за незнания временного положения может быть значительным, причем этот проигрыш возрастает с увеличением отношения сигнал-шум. Кривой 4 на рис. 1.17 представлена зависимость средней вероятности ошибки при обнаружении сигнала, все параметры которого известны (1.77), (1.78). Сравнение

Рис. 1.17. Средняя вероятность ошибки для разрывного радиосигнала

кривых 1-4 позволяет оценить потери в эффективности обнаружения из-за незнания неэнергетического параметра и начальной фазы разрывного радиосигнала. Как следует из рассмотрения кривых рис. 1.17, эти потери могут быть значительными.

Сравним теперь вероятности ошибок при некогерентном обнаружении разрывного радиосигнала (1.185) с вероятностями ошибок при некогерентном обнаружении дифференцируемого радиосигнала с неизвестным временным положением. В качестве примера такого сигнала удобно использовать радиоимпульс с колокольной огибающей

эквивалентная длительность которого равна (1.157). Пусть отношение сигнал-шум и эквивалентная длительность (1.156) для сигналов (1.185) и (1.188) одинаковы. Тогда вероятности ошибок при обнаружении сигнала (1.188) на фоне белого шума можно получить из (1.112), (1.113), если положить в них

На рис. 1.17 штрихпунктиром представлена зависимость средней вероятности ошибки некогерентного обнаружения дифференцируемого радиосигнала с неизвестным временным положением при Из сравнения кривой 1 и штрихпунктирной кривой на рис. 1.17 и сопоставления (1.177), (1.184) с (1.112), (1.113) следует, что незнание временного положения разрывного радиосигнала приводит к большим потерям в эффективности обнаружения, чем незнание временного положения дифференцируемого радиосигнала. При этом относительные потери в эффективности обнаружения разрывного радиосигнала (1.185) из-за незнания его временного положения по сравнению с обнаружением дифференцируемого радиосигнала (1.188) возрастают с увеличением отношения сигнал-шум.

При обнаружении радиосигнала (1.185) приближенные значения вероятностей ошибок можно также найти, предполагая, что неизвестное временное положение радиосигнала принимает из дискретных значений [14, 531. При таком подходе вероятности ошибок определяются формулами (1.117), где следует положить . Рассчитанная по этим формулам средняя вероятность ошибки нанесена на рис. 1.17 штриховой линией. Из сравнения кривой 1 и штриховой кривой и сопоставления (1.177), (1.184) с (1.117) следует, что расчет по (1.117) приводит к значениям средней вероятности ошибки, существенно меньшим, чем расчет по (1.177) и (1.184). При этом точность формул (1.177), (1.184) растет с увеличением в то время как поведение точности приближенных формул (1.117), полученных на основе искусственного сведения аналоговой системы к дискретной, неизвестно.

Кроме прямоугольного импульса и перечисленных в п. 1.3.1 примеров к разрывным сигналам часто можно отнести сложные дискретные сигналы, которые находят широкое применение в различных приложениях [9, 42, 52]. Дискретные сигналы строятся следующим образом. Отрезок времени (длительность сигнала) разбивается на N позиций (посылок) длительностью каждая.

На i-й позиции формируется колебание , где — заранее выбранные амплитуда и фаза колебания высокой частоты. Наборы образуют коды, которые выбираются так, чтобы обеспечить сигнальную функцию с нужными свойствами. В зависимости от ограничений, наложенных на а и получаются различные классы сигналов. Например, если все могут принимать лишь два значения (обычно 0 и или ), то получается класс сигналов, называемый классом ФМ (фазоманипулированных сигналов). Сравнительная простота реализации фазового кодирования и выгоды, связанные с постоянством амплитуды при усилении по мощности, обеспечили ФМ сигналам широкое применение.

В общем случае ФМ сигнал можно представить в виде [52]

где

— амплитуда, несущая частота и начальная фаза сигнала; или набор образует кодовую последовательность, соответствующую манипуляции фазы на Для сигналов (1.189) принимаемых на фоне белого шума, характерны, во-первых, недифференцируемость огибающей сигнальной функции (1.112); во-вторых, наличие у нее побочных максимумов.

Рассмотрим обнаружение ФМ сигнала с неизвестным временным положением, полагая, что значения побочных максимумов огибающей сигнальной функции не превышают 0,2 значения главного максимума. Для большинства ФМ сигналов, используемых в различных приложениях, это условие выполняется. Тогда аналогично п. 1.2.2 можно показать, что наличие побочных максимумов у огибающей сигнальной функции оказывает незначительное влияние на характеристики обнаружения, если только априорный интервал определения неизвестного временного положения сигнала не слишком мал, другими словами, если выполняется условие . При этих предположениях для расчета характеристик обнаружения ФМ сигнала достаточно знать поведение нормированной огибающей его сигнальной функции в пределах главного лепестка, где она совпадает с автокорреляционной функцией кодовой последовательности [52]

Учитывая, перепишем это выражение в более удобной форме

где

Согласно (1.191), (1.186) огибающая сигнальной функции, при приеме ФМ сигналов совпадает по форме с огибающей сигнальной функции для радиоимпульса с прямоугольной огибающей. Следовательно, для расчета характеристик обнаружения ФМ сигнала с неизвестным временным положением можно использовать формулы (1.177), (1.184). Достаточно подставить в эти формулы значение параметра и отношение сигнал-шум , где энергия одной посылки ФМ сигнала. Таким образом, если используется достаточно хорошая кодовая последовательность, для которой уровень боковых лепестков автокорреляционной функции не превышает 0,2 значения главного максимума, то характеристики обнаружения ФМ сигналу неизвестным временным положением такие же, как для прямоугольного радиоимпульса с энергией и длительностью . Если же уровень боковых лепестков превышает указанное значение, то (1.186) определяет верхнюю границу вероятности пропуска ФМ сигнала.