5.2. Вероятностные модели негауссовских помех

Негауссовские процессы чаще всего для исчерпывающего вероятностного описания требуют такого количества статистической информации, которое трудно получить из физических измерений по причинам ограниченного времени анализа, сложности создания аппаратурных анализаторов и др. Эти обстоятельства вынуждают отказаться от полного вероятностного описания негауссовских помех в пользу упрощенного описания в рамках определенных хорошо изученных в математике случайных процессов. Такими процессами, в частности, являются негауссовские, происходящие из гауссовских, и марковские. Эти процессы удобны для описания, во-первых, потому, что требуют вполне доступной физической информации относительно объекта описания, а во-вторых, что не менее важно, на их основе значительно упрощается решение вероятностных задач математическими методами, так как теория указанных процессов достаточно развита.

Ниже рассматриваются свойства вероятностных моделей, применяемых для описания негауссовских помех.

Марковские модели. Под марковской -связной моделью описываемой выборки подразумевается случайная выборка, плотность вероятности которой выражается произведением условных плотностей описываемой выборки не выше порядка:

В формуле (5.4)

где - -мерная плотность вероятности описываемой выборки. Увеличивая порядок марковской модели, можно получить сколь угодно

хорошее описание любого реального процесса. Однако применение сложных моделей наталкивается на серьезные аналитические и технические трудности, связанные с описанием и аппаратурным анализом многомерных распределений. Вследствие этого зачастую приходится удовлетворяться моделями невысоких порядков.

Остановимся на свойствах гауссовских марковских моделей, из которых методом нелинейного преобразования можно получать негауссовские марковские модели.

В классе гауссовских процессов марковская модель порядка определяется значениями корреляционной функции описываемой выборки при . При этом корреляционная функция модели совпадает с в точках . В других точках могут различаться.

Рассмотрим способ определения функции по заданной для гауссовских процессов. Заметим, что матрица обратная может иметь ненулевые элементы только на главной диагонали и примыкающих к ней над- и поддиагоналях, т. е.

Свойство (5.6) следует из формулы

которая с учетом определения модели (5.4) принимает вид а

В (5.7), (5.8) - n-мерная гауссовская плотность; соответствующие ей условные плотности.

Формула (5.8) однозначно определяет матрицу первыми значениями корреляционной функции описываемой выборки. Обратив получим корреляционную матрицу модели в которой . В простейшем случае, при где коэффициент корреляции соседних элементов в описываемой выборке; - дисперсия выборки.

Функция является рациональной относительно своих первых значений . Это следует из того, что матрица порождающая функцию , имеет обратную элементы которой являются рациональными функциями от .

Обратим внимание, что процессы, сформированные из белого шума линейной динамической системы порядка и являющиеся, как известно, компонентой -мерного марковского процесса, не являются -связными в смысле (5.4). Пусть, например, линейная система образована последовательно включенными одинаковыми низкочастотными -фильтрами. При наличии на входе такой системы белого шума на выходе будем иметь процесс со спектральной плотностью

Последовательность образованная из этого процесса с интервалом дискретизации имеет нормированную корреляционную функцию

Функция (5.9) представима как рациональная относительно своих первых отсчетов только при Поэтому при рассматриваемый процесс не обладает свойством (5.4).

Погрешность описания произвольного процесса марковскими моделями исследуется в [217, 218].

Модели в виде процессов, порождаемых гауссовским шумом.

Наиболее доступной информацией о негауссовском процессе являются одномерная плотность вероятности и корреляционная функция. Учесть полностью такую информацию в гауссовских или марковских моделях невозможно. Подходящим способом описания процесса с заданными одномерной плотностью и корреляционной функцией является представление его результатом комбинированного линейного и нелинейного преобразования белого гауссовского шума

Оператору (5.10) соответствует схема образования из , изображенная на рис. 5.1. Фильтр осуществляет линейное преобразование

такое, что Нелинейный элемент является безынерционным преобразователем с характеристикой обратная функция которой однозначная, причем

Оператор (5.10) определяется двумя характеристиками: матрицей и функцией , вариацией которых можно добиться образования с необходимым распределением вероятностей и корреляционной функцией

При заданных и характеристики оператора находятся в следующей последовательности. Сначала определяется функция из нелинейного дифференциального уравнения

Рис. 5.1. Схема формирования негауссовских процессов

После определения по заданной функции В находится функция связанная с В соотношением

— полиномы Эрмита. Иногда функцию удается выразить через в замкнутой форме путем вычисления корреляционной функции прямым методом;

В некоторых случаях определенная из (5.13) или (5.14) функция может иметь преобразование Фурье, отрицательное для отдельных со. При этом найденная еще не будет искомой корреляционной функцией. Возникает необходимость отыскания корреляционной функции, наилучшим образом приближающейся к Вотг Решение такой задачи дано в [216].

Характеристика фильтра связана равенством

Выражения (5.12)-(5.15) определяют связь между характеристиками и В описываемого процесса и характеристиками оператора (5.10).

Оператор (5.10) особенно подходит для описания активных прямошумовых помех, формируемых прямым усилением шума первичного источника. Первичный шум является, как правило, широкополосным и гауссовским, для которого допустима модель в виде некоррелированного процесса. Эквивалентная схема формирующего усилителя совпадает с изображенной на рис. 5.1. При этом фильтр соответствует линейной части усилителя, включающей первые каскады, а нелинейный элемент отражает нелинейный режим работы оконечных каскадов усиления.

Описание помех оператором (5.10) дает сравнительно простые решения в задачах оптимального приема. Это является следствием простого аналитического выражения распределения выборки заданной в виде (5.10). Так как является продуктом нелинейного и монотонного безынерционного преобразования , то связано с гауссовской плотностью вероятности выборки соотношением

Из структуры (5.16) вытекает важное свойство монотонных безынерционных преобразований, состоящее в следующем. Если распределение допускает разложение на множители в виде (5.4), то и для существует аналогичное разложение:

где

Другими словами, монотонное безынерционное преобразование не изменяет порядка преобразуемого марковского процесса. Из этого, в частности, следует, что для негауссовских процессов вида (5.10) некоррелированность влечет и независимость так же, как и для гауссовских процессов.