4.3. Последовательное обнаружение при наличии мешающих параметров

4.3.1. Общие положения

Априорная неопределенность параметров различаемых распределений типична для большинства задач обнаружения сигнала. Для ряда задач характерна также нестационарность параметров сигналов и помех в процессе обнаружения, приводящая к неоднородности анализируемой выборки. В этих условиях различаемые гипотезы становятся

сложными. Ниже в данном разделе рассматриваются задачи последовательного обнаружения, для которых неопределенные параметры являются мешающими, т. е. такими, оценка которых не представляет самостоятельного интереса.

Как указывалось в гл. 3, к статистическим критериям, применяемым для обнаружения сигнала в условиях априорной неопределенности, предъявляется требование малой чувствительности к значениям мешающих параметров. Критерии, уровень значимости а и мощность которых не зависят от неизвестных параметров, называются относительно них инвариантными. Если при справедливости альтернативы вероятность отклонения гипотезы не меньше, чем верхняя грань уровня значимости на множестве значений неопределенных параметров, т. е. , то соответствующий критерий называется несмещенным. Несмещенные критерии, обеспечивающие постоянство а на некотором множестве значений параметров, называются на этом множестве подобными [87].

Среди инвариантных и несмещенных представляют интерес критерии, обладающие наибольшей по сравнению с другими мощностью. Критерии, обладающие этим свойством в некоторой области значений параметров альтернативного распределения, называются равномерно наиболее мощными (РНМ) в этой области. Однако статистические задачи, для которых существуют РНМ инвариантные или несмещенные критерии, скорее исключение, чем правило [87]. Поиск критериев, обладающих высокой мощностью и малой чувствительностью к мешающим параметрам, является одним из актуальных направлений развития теории статистических решений.

Критерии, устойчивые к мешающим параметрам, могут строиться с использованием выборок как фиксированного, так и регулируемого в ходе наблюдения объема. Основное различие в свойствах тех и других заключается при этом в следующем. При фиксированных объемах выборок не могут быть сохранены одновременно уровень значимости и мощность критерия в условиях, когда из-за мешающего параметра различие между гипотическим и альтернативным распределениями уменьшается. Наилучший результат, которого при этом можно достигнуть, это построение РНМ несмещенного или подобного критерия. Так, широко используемый в практике обнаружения сигналов критерий Неймана-Пирсона является РНМ подобным. Однако падение мощности критерия, вызванное сближением различаемых распределений, может быть скомпенсировано увеличением объема выборки, и наилучшим результатом при этом является РНМ инвариантный критерий.

Последовательный анализ является методом, допускающим необходимое регулирование объема выборки в ходе наблюдения, чем может быть обеспечено постоянство мощности критерия при сближении распределений. При этом для ряда условий обеспечивается и минимальный в среднем объем выборки. Таким образом, на основе последовательного анализа для задач с мешающими параметрами могут строиться инвариантные критерии, обладающие в среднем наибольшей мощностью. Некоторой платой за качество критерия при этом является

случайность объема выборки, дисперсия которого увеличивается с ростом априорной неопределенности мешающего параметра. Заметим, что применение последовательного анализа обычно обеспечивает не строгую инвариантность, а ограниченность вероятностей ошибок сверху некоторыми расчетными значениями и связанными с решающими порогами. По мере взаимного удаления различаемых распределений а и Р уменьшаются вследствие возрастающей роли эффекта «перескока» порогов решающей статистикой.

Задача построения последовательного критерия при наличии мешающих параметров впервые рассматривалась Вальдом [149]. В качестве способа преодоления априорной неопределенности при этом, так же как и в случае выборок фиксированного объема, использовалось усреднение различаемых распределений, рассматриваемых при фиксированных значениях мешающих параметров как условные, по вероятности условий. Полученные таким образом распределения не содержат неизвестных параметров и далее могут рассматриваться как соответствующие простой гипотезе и альтернативе.

В тех случаях, когда значения неизвестных параметров Ф, соответствующие различным элементам выборки, являются независимыми случайными величинами с априори известным законом распределения, операция перехода к простым гипотезам состоит в усреднении одномерных распределений выборочных значений по априорному распределению . Примером может служить усреднение двумерного распределения отсчетов огибающей и фазы для смеси сигнала и шума по неизвестной начальной фазе сигнала, которая при некогерентном накоплении является независимой от отсчета к отсчету и номерно распределенной в интервале

Иногда с целью упрощения предположение о независимости значений мешающих параметров , - для последовательности элементов выборки используется и в тех случаях, когда фактически эти значения не являются независимыми. Оптимальная обработка при зависимых значениях Ф заключается в усреднении функций правдоподобия выборочного вектора по многомерному априорному распределению последовательности значений мешающего параметра

В большинстве прикладных задач априорные распределения мешающих параметров неизвестны или весьма протяженны. В этих случаях операция усреднения функций правдоподобия каждого элемента выборки неприменима или приводит к существенному сближению гипотез и снижению мощности критерия. Более мощный критерий может быть получен, если при вычислении безусловных функций правдоподобия выборочного вектора использовать имеющиеся априорные сведения о функциональной или вероятностной связи значений параметра соответствующих последовательности элементов выборки . Такое вычисление может выполняться рекуррентно путем усреднения условного распределения элемента выборки по апостериорному распределению рассчитанному на основании всех ранее полученных элементов выборки или, если по выборке может быть вычислена

достаточная оценка параметра по апостериорному распределению

Можно показать [3], что указанные рекуррентные алгоритмы эквивалентны усреднению совместной плотности вероятности выборки по совместному априорному распределению последовательности значений мешающего параметра Алгоритмы, полученные таким способом, называют алгоритмами совместного обнаружения-оценивания [3].

Состоятельные оценки могут и непосредственно подставляться в функции правдоподобия Вместо неизвестных значений мешающих параметров. Последующее формальное применение байесовских решающих правил обеспечивает при этом минимум максимального отклонения среднего риска от его значений в статистически определенной задаче [2]. (Примером такого подхода может служить использование нормального распределения с подставленной в него оценкой неизвестной дисперсии в задаче Стьюдента [173].)

Заметим, что формально получаемые по выборочным данным оценки мешающих параметров альтернативного распределения становятся истинными оценками лишь после вынесения решения в пользу альтернативы. В противном случае они оказываются псевдооценками, влияние которых на алгоритм обнаружения необходимо дополнительно исследовать в каждой конкретной задаче.

Рекуррентный расчет отношения правдоподобия удобен с точки зрения практической реализации, особенно при последовательном анализе, когда возможность вынесения решения в пользу или проверяется на каждом шаге. Отношение правдоподобия выборочного вектора полученного на шаге эксперимента, имеет при этом вид

где отношение правдоподобия элемента выборки

априорное распределение параметра О.

Получение оценок приводит к сужению области апостериорного распределения неизвестных параметров но не устраняет априорную неопределенность полностью, так как отыскание апостериорных пределений также требует знания априорного распределения . Однако если априорное распределение много «шире» условного распределения оценки которое полностью определяется методом ее получения и является известным, то форма мало влияет на апостериорное распределние и в выборе

может быть допущен значительный произвол. Действительно, функция формально может трактоваться как вес, с которым усредняются частные значения потерь при расчете средних потерь некоторого критерия обнаружения относительно байесовского, оптимального для статистически определенной задачи. Тогда ее выбор более зависит от важности разных значений потерь с точки зрения экспериментатора, чем от реальных факторов, порождающих априорное распределение .

В силу изложенного в качестве априорных могут выбираться некоторые стандартные распределения, в том числе несобственные, не удовлетворяющие условию нормировки (например, равномерное в бесконечной области). Удобен также выбор априорного распределения принадлежащего некоторому сопряженному семейству, обладающему тем свойством, что при любом размере выборки и любых значениях ее элементов апостериорное распределение принадлежит тому же семейству, что и

Подстановка выбранных таким образом априорных распределений в формулу Байеса (4.68) дает апостериорные распределения, удовлетворяющие нормировке, причем для условных распределений достаточно «узких» по сравнению с выбранным априорным , из этой формулы следует приближенное равенство да

Точность оценки мешающего параметра повышается, если кроме выборки, пр которой производится обнаружение сигнала, для получения оценки может быть использована дополнительная обучающая выборка, особенно если последняя является классифицированной, т. е. известно, к какому из различаемых распределений она относится. В прикладных задачах возможность получения классифицированной помеховой обучающей выборки возникает, когда в частотно-временном пространстве имеется область, где существование сигнала невозможно или маловероятно, а статистические характеристики помехи являются такими же, как и в области, где сигнал может присутствовать (например, период обратного хода развертки импульсной радиолокационной станции).

Отметим, что использование для расчета функций правдоподобия всей информации о неизвестном параметре, полученной к шагу, часто сопряжено со значительным усложнением алгоритма обнаружения. В этих случаях целесообразен переход к квазиоптимальным оценкам использующим наиболее существенную часть информации о параметре на шаге. Например, при наличии обучающих выборок может оказаться оправданным отказ от использования дополнительной информации о содержащейся в решающей выборке.

В последующих пунктах данного раздела рассматриваются примеры последовательных правил обнаружения при наличии мешающих параметров. Ввиду практической важности большое внимание уделяется случаю неизвестного энергетического параметра а гауссовского шума с некоррелированными отсчетами. Сигнал предполагается квазидетерминированным.