2.2.3. Контрастное обнаружение сигналов в шуме с неизвестными характеристиками

В случае неизвестных характеристик шума часто оказывается полезным контрастный метод обнаружения сигнала. При этом методе выделяется опорный временной интервал, содержащий только шум, и обнаружение сигнала производится сравнением процесса в опорном интервале с процессом в том интервале, в котором ожидается присутствие сигнала. Факт обнаружения сигнала регистрируется как несовпадение распределения процессов в данных интервалах. Контрастное обнаружение возможно при минимальных сведениях о шуме. Однако оно применимо, если шум имеет одинаковое распределение в обоих временных интервалах, т. е. стационарен в пределах этих интервалов.

Ниже рассмотрены задачи контрастного обнаружения сигналов в шумах с неизвестными параметрами распределений. Дальнейшее применение контрастного метода, включая случай неизвестного распределения шума, дано в п. 2.4.5.

Обнаружение некогерентной пачки импульсов.

Для обнаружения используем процесс на выходе линейного амплитудного детектора. Амплитуды импульсов в пачке считаем разными и неизвестными, шум на входе детектора полагаем гауссовским и стационарным на интервале, равном периоду следования импульсов. Процедуру обнаружения разделим на два этапа — бинарное квантование наблюдаемого процесса в каждом периоде следования импульсов и накопление бинарно квантованных величин.

Рассмотрим задачу бинарного квантования в условиях априорной неопределенности мощности шума. Выделим в некотором периоде два временных интервала — шумовой, не содержащий импульса, и сигнальный, в котором может быть импульс. Возьмем в этих интервалах независимых отсчетов процесса на выходе амплитудного детектора, из которых последний отсчет отнесем к сигнальному, а остальные отсчетов — к шумовому интервалу. Образованная из этих

отсчетов выборка имеет семейство распределений с плотностью вероятности

где а — амплитуда импульса; — дисперсия шума; — функция Бесселя нулевого порядка.

Бинарное квантование рассматриваем как контрастное обнаружение импульсов в каждом периоде следования. Решению в пользу гипотезы («импульса нет») соответствует нулевоезначение квантованной выборки, а решению о выполнении гипотезы («импульс есть») — значение, равное единице. Согласно выражению (2.36) в задаче выделяются полезный и мешающий параметры с достаточными статистиками:

В терминах параметров правило квантования формулируется как проверка сложных гипотез

В условиях априорной неопределенности мощности шума и амплитуды импульса естественно потребовать от правила квантования постоянства вероятности формирования «единицы» в отсутствие импульса и максимального значения этой вероятности при его наличии. Эти требования удовлетворяются, если в качестве правила квантования использовать РНМ несмещенное правило проверки гипотез .

Используя соответствующие теоремы § 2.1, из (2.36) нетрудно установить, что в данном случае выполняются все предпосылки существования РНМ несмещенного правила. Решающая функция этого правила согласно выражениям (2.14), (2.37) и (2.38) имеет вид

где заданная вероятность формирования «единицы» в отсутствие импульса. Пороговая функция правила (2.39) может быть получена либо решением уравнения (2.7) при подстановке либо по любой из двух методик если воспользоваться симметрией семейства распределений выборки в отсутствие сигнала относительно группы масштабных преобразований.

Правило квантования (2.39) обеспечивает в отсутствие сигнала постоянную и равную вероятность формирования «единицы» при любой мощности шума и максимизирует эту вероятность при всех отношениях сигнал-шум , когда сигнал присутствует. Данные свойства правила создают необходимые предпосылки для стабилизации вероятности ложной тревоги и максимизации вероятности правильного обнаружения пачки импульсов на этапе бинарного накопления.

Рис. 2.6. Структурная схема обнаружителя с бинарным накоплением импульсов

Вероятностью для оптимального согласования этапов квантования и накопления можно управлять, изменяя порог Расчеты показывают, что при малых отношениях сигнал-шум оптимальное значение

При практической реализации обнаружителя целесообразно решающую функцию (2.39) заменить эквивалентной решающей функцией

Такая замена возможна, так как значения всех отсчетов Структурная схема обнаружителя с правилом квантования (2.40) приведена на рис. 2.6. Здесь и далее КД — квадратичный амплитудный детектор; линия задержки с m отводами; Н — накопитель. Штрих-пунктирной линией на рис. 2.6 обведен блок бинарного квантования. Число импульсов в пачке равно . Порог на выходе бинарного накопителя обозначен , где а — заданный уровень вероятности ложной тревоги; Т — период следования импульсов.

Сравнение этого обнаружителя с бинарный накопителем при известной мощности шума показывает, что бинарное накопление в шуме с

неизвестной мощностью сопровождается потерями в пороговом отношении сигнал-шум. Однако эти потери быстро убывают с увеличением числа независимых отсчетов шума. При когда берется всего один отсчет шума, они равны 2—3 дБ, при потери пренебрежимо малы. Характеристики обнаружения можно рассчитать по известным выражениям для бинарного накопителя [84], используя функцию мощности полученного правила квантования. При функция мощности для нефлуктуирующих импульсов; для флуктуирующих по закону Рэлея импульсов и для импульсов, флуктуирующих по закону Райса. Данные выражения получены при . Параметр v равен отношению мощностей нефлуктуирующей и флуктуирующей компонент сигнала в распределении Райса.

Рис. 2.7. Зависимость числа накапливаемых импульсов от отношения сигнал-шум

На рис. 2.7 приведена зависимость необходимого числа накапливаемых импульсов от отношения сигнал-шум для нефлуктуирующего сигнала флуктуирующего по закону Раиса сигнала (2) и сигнала, флуктуирующего по закону Рэлея (5). Из рис. 2.7 следует, что при характер флуктуаций сигнала слабо сказывается на эффективности обнаружения.

Обнаружение узкополосного сигнала с неизвестной несущей частотой.

Наблюдаемым процессом в этой задаче выступают оценки спектральных плотностей принятого сигнала, поступающие в заданном частотном диапазоне от анализатора спектра. Здесь индекс i обозначает номер цикла формирования спектральных оценок; индекс j — номер интервала разрешения по частоте. Ширину интервала разрешения полагаем равной или большей ширины спектра обнаруживаемого сигнала. Спектр шумового фона принимаем достаточно гладким и имеющим постоянную плотность мощности в пределах интервалов разрешения. В остальном спектр шумового фона может быть произвольным. Весь частотный диапазон разделим на ряд поддиапазонов, каждый из которых включает в себя указанных интервалов. При обнаружении сигнала считаем, что в пределах поддиапазона может находиться только один сигнал.

Правила обнаружения во всех частотных поддиапазонах идентичны. Поэтому остановимся на задаче обнаружения в одном таком поддиапазоне. Наблюдаемой выборкой выступает совокупность число циклов формирования спектральных оценок При статистической независимости спектральных оценок и аппроксимации их распределений -распределением с v степенями свободы [76] (v определяется произведением времени оценки

на ширину интервала разрешения) плотность вероятности выборки при наличии сигнала в k-м интервале разрешения имеет вид

где — соответственно мощности шумового фона и смеси шумового фона и сигнала, отнесенные к одному интервалу разрешения по частоте. Из (2.41) следует, что в задаче имеются мешающий и полезный параметры. Достаточная для мешающего параметра статистика

Задача обнаружения, когда требуется указать номер интервала разрешения, в котором находится сигнал, формулируется как задача проверки многоальтернативных гипотез:

Используя теоремы § 2.1, можно показать, что в данной задаче выполняются все предпосылки, необходимые для существования многоальтернативного РНМ несмещенного правила. Совокупность преобразований G, которая должна удовлетворять условиям (2.22), задается циклическими перестановками величины , по индексу . Условные отношения правдоподобия при каждой альтернативе монотонны относительно статистик

Подставляя статистики (2.42), (2.43) в (2.23) и вычисляя пороговую функцию по методике п. 2.1.3, находим решающую функцию РНМ несмещенного правила

Правило (2.44) обеспечивает стабильную вероятность ложной тревоги при любых изменениях уровня шумового фона и формы его энергетического спектра, не нарушающих постоянства спектральной плотности в пределах установленных поддиапазонов. Вероятность правильного обнаружения сигнала не зависит от его местоположения в поддиапазоне и максимальна для всех отношений сигнал-шум , где — мощность сигнала; — мощность шумового фона, отнесенная к одному элементу разрешения. Аналитический расчет характеристик обнаружения правила (2.44) довольно сложен из-за присутствия в нем экстремальных статистик. Эффективность таких правил целесообразно оценивать моделированием на ЭВМ.

Рис. 2.8. Структурная схема обнаружителя узкополосного сигнала с неизвестной несущей частотой

Структурная схема обнаружителя, реализующего данное правило, дана на рис. 2.8. На этом рисунке АС — параллельный анализатор спектра.

Обнаружение сигнала в оптической локационной системе.

Рассмотрим обнаружение эхо-сигнала при диффузном отражении когерентного светового сигнала оптически шероховатой поверхностью. Обнаружение производится контрастным методом при одновременном наблюдении двух световых потоков. Один из таких потоков (шумовой) обязан только шуму, другой же (сигнальный) может содержать полезный сигнал. В качестве чувствительного элемента приемника используется фотоэлектронный счетчик фотонов. Наблюдаемыми данными выступают числа фотоэлектронов, появляющихся на фоточувствительной поверхности за время действия на нее соответственно шумового и сигнального световых потоков.

При независимости величин медленных флуктуациях шума ширина спектра шума; T — время действия светового потока на фоточувствительную поверхность) и близких значениях частоты сигнала и средней частоты шума распределение выборки имеет вид [96]

где — средние числа фотоэлектронов, характеризующие соответственно шум и сигнал. При распределение

Из (2.45) и (2.46) следует, что в задаче выделяются мешающий и полезный параметры. Параметр для семейства (2.45) и для семейства (2.46). Для параметров существуют соответственно достаточные статистики

Задача обнаружения сигнала формулируется как задача проверки сложных гипотез

Непосредственной проверкой можно убедиться, что в данной задаче существует РНМ несмещенное правило. Находя пороговую функцию решением уравнения (2.7), из и (2.48) находим решающую функцию этого правила

где М — целая часть; - дробная часть числа, заключенного в скобки (правило рандомизировано, так как величины принимают целые значения).

Функция мощности правила (2.49) при задается соответственно выражениями

где . Правило (2.49) обеспечивает при максимальной вероятности правильного обнаружения стабильную вероятность ложной тревоги при любом изменении уровня шумового фона.