2.3. Принцип инвариантности в задачах проверки сложных гипотез

2.3.1. Симметричные семейства распределений. Инвариантность правил проверки гипотез

Принцип инвариантности часто оказывается полезным, когда не существует РНМ несмещенного правила. Он основан на представлении априорной неопределенности в форме воздействия на наблюдаемый процесс (или выборку из этого процесса) некоторого произвольного преобразования g из фиксированной группы G. При таком представлении априорной неопределенности предполагается: 1) симметрия семейства распределений выборок из наблюдаемого процесса относительно группы G (определение симметричного семейства см. в п. 2.1.2); 2) инвариантность множеств задающих в параметрическом пространстве гипотезы относительно индуцированной

группы G преобразований пространства (определение индуцированного преобразования см. в п. 2.1.2). Множество инвариантно относительно группы G, если при всех и любом

Симметричность семейства относительно группы G обеспечивает принадлежность распределения преобразованной выборки семейству при всех п. 2.1.2). Инвариантность множеств свидетельствует о том, что преобразование выборки операторами группы G не нарушает сформулированных гипотез. Без выполнения этих двух условий группу G нельзя было бы использовать для представления априорной неопределенности.

Приведем пример представления априорной неопределенности группой преобразований. Пусть требуется обнаружить сигнал с неизвестной начальной фазой в гауссовском шуме. Амплитуду а сигнала и мощность шума примем для простоты известными. Наблюдаемую выборку образуем из отсчетов колебаний на выходах квадратурных каналов приемника в момент окончания сигнала. Плотность вероятности этой выборки

где . Введем параметры и запишем гипотезы об отсутствии и наличии сигнала в виде

Возьмем группу G ортогональных преобразований, заданных матрицами где . Легко проверить, что семейство распределений с плотностями симметрично относительно данной группы G и индуцированная группа . Множества инвариантны относительно группы G, так как ортогональное преобразование не меняет значений Тем самым приведенная группа G может быть использована для представления априорной неопределенности начальной фазы сигнала.

Задачи с симметричными семействами и инвариантными множествами называются далее симметричными относительно группы G. Так как в симметричных задачах априорная неопределенность сводится к изменению распределения наблюдаемого процесса под действием преобразований индуцированной группы , то естественно потребовать от правила проверки гипотез независимости его функции мощности от такого изменения распределения. В связи с этим выделяются правила с инвариантными относительно группы G функциями мощности , т. е. правила, у которых при всех Для симметричных задач условие инвариантности функции мощности выполняется, если решающая функция правила инвариантна

относительно группы G, т. е. при всех в G. Это утверждение вытекает из следующей цепочки равенств:

Поэтому при использовании принципа инвариантности из класса всех правил проверки гипотез выделяется класс инвариантных правил, имеющих инвариантные относительно группы G решающие функции. Выделение класса обеспечивает, с одной стороны, устойчивость правила в условиях априорной неопределенности и, с другой стороны, создает во многих случаях необходимые предпосылки для существования оптимального (РНМ) правила в этом классе. Оптимальное в классе правило называется РНМ инвариантным.