3.2.3. Методы синтеза минимаксных обнаружителей для инмриантных задач

Из теории инвариантности для задач проверки статистических гипотез [87] следует, что во многих случаях задачу отыскания максиминных (минимаксных) решающих правил можно упростить использованием свойств симметрии (инвариантности), присущих данной конкретной задаче обнаружения.

Если существует группа G преобразований g выборочного простран-. ства X, такая, что индуцированная группа G преобразований g пространства параметров оставляет инвариантной области то задача обнаружения является инвариантной относительно группы G (либо тех неизвестных параметров задачи, значения которых могут быть переведены друг в друга преобразованиями группы G). Другими словами, для инвариантной задачи применение любого преобразования группы G к входной выборке изменяет любое распределение семейства гипотезы или альтернативы таким образом, что результирующие распределения тоже принадлежат этим семействам. При этом следует иметь в виду, что преобразования входного выборочного пространства X и соответствующие им индуцированные в преобразования параметрического пространства являются взаимно-однозначными отображениями указанных пространств на себя.

В наших обозначениях инвариантность задачи обнаружения относительно G может быть выражена соотношениями

или эквивалентными им соотношениями

Здесь как и раньше, — условные плотности вероятности распределения случайного вектора причем в левой части соотношений смысл этих функций не изменяется, изменяются лишь значения самого векторного аргумента и параметров; якобиан преобразования, равный в случае группы G линейных преобразований в декартовом действительном пространстве модулю детерминанта (определителя) матрицы преобразования.

Согласно теореме Ханта-Стейна (см. [87] теорема 2 и лемма 2 гл. 8) достаточным условием того, чтобы минимаксное правило при ограниченной вероятности ложной тревоги содержалось в классе инвариантных относительно G правил и, следовательно, совпадало с инвариантным минимаксным правилом, является существование асимптотически правоинвариантной последовательности распределений вероятностей на группе G (т. е. определенной на а - поле ИВ подмножеств В группы G), таких, что для любых

В этом случае любой неинвариантный в общем случае рандомизированный критерий может быть преобразован инвариантному (почти инвариантному) суперпозицией вида

Наибольшая вероятность ложной тревоги и наименьшая вероятность правильного обнаружения при таком преобразовании могут изменяться только так, что

Следовательно, если бы существовало правило с большей минимальной , чем у инвариантного минимаксного правила, то нашлось бы и инвариантное правило с этим свойством, что по определению невозможно.

Многие группы преобразований (масштаба и др.) удовлетворяют теореме Ханта—Стейна [87]. Утверждение теоремы Ханта—Стейна остается справедливым и для подобных минимаксных правил, так как преобразование (3.65) сохраняет свойство подобия.

Рис. 3.2. Соотношение множеств решающих правил обнаружения сигналов

В случаях, когда инвариантность влечет подобие и выполнены условия теоремы Ханта-Стейна, минимаксные правила обязаны быть также подобными минимаксными

Нетрудно видеть, что инвариантность влечет подобие, когда любые две точки из эквивалентны относительно индуцированной группы преобразований G, т. е. когда единственной траекторией G является вся область гипотез и инвариантные статистики не зависят от неизвестных параметров помехи. При этом говорят, что G транзитивна в .

Таким образом, в этих случаях имеет место эквивалентность минимаксных правил при обоих видах ограничений на а. Соответственно такие задачи могут решаться любым из возможных методов для подобных минимаксных правил в виде (3.53), для минимаксных правил в виде (3.54) с использованием наименее благоприятных распределений, для инвариантных и, наконец, для инвариантных подобных минимаксных правил. Удобство отыскания инвариантных минимаксных правил связано, в частности, с тем, что любое инвариантное решающее правило обнаружения сигналов может основываться на так называемой максимальной инвариантной статистике, т. е. на некоторых функциях выборочных значений не зависящих от тех неизвестных параметров задачи, по отношению к которым она инвариантна.

Подобная редукция сокращает число неизвестных параметров и обычно существенно облегчает отыскание инвариантных минимаксных правил. В частном случае максимальная инвариантная статистика может иметь полностью известное распределение как при наличии, так и при отсутствии полезного сигнала и тогда нетрудно найти наиболее мощное инвариантное правило. В других случаях для редуцированной задачи существует равномерно наиболее мощное правило, которое

является, таким образом, равномерно наиболее мощным инвариантным правилом, эквивалентным минимаксному правилу для исходной задачи.

Наибольшего упрощения при отыскании минимаксных правил можно достичь, если отыскивать максимальные инвариантные статистики в редуцированном выборочном пространстве достаточных статистик или, еще лучше, в пространстве минимальных достаточных статистик для исходной задачи, В этом случае имеет место двойное упрощение: и по числу неизвестных параметров, и по размерности результирующей статистики. В частности, в ряде задач (см. § 3.3, случай сводится к единственной одномерной функции вектора входных данных х.

Напомним, что функция называется инвариантной относительно G, если она постоянна на каждой траектории G в X. Функция называется максимальным инвариантом, если она постоянна на каждой траектории и на различных траекториях принимает различные значения [87]. Траекторией называется множество точек, которое пробегает некоторая точка когда к ней применяются все преобразования g из G. Обычно максимальные инварианты удается легко находить, конструируя соответствующую статистику из достаточной статистики, опираясь непосредственно на упомянутые выше свойства. В случаях, когда группа G является произведением нескольких подгрупп, редукцию выборки к максимальному инварианту можно проводить по этапам последовательно для каждой из подгрупп G в отдельности [87]. Некоторые другие методы отыскания максимальных инвариантов рассмотрены в [65, 70]. Примеры синтеза минимаксных правил для инвариантных задач обнаружения методом максимальных инвариантных статистик содержатся в [82].

Рассмотренный выше метод синтеза минимаксных инвариантных решающих правил предусматривает отыскание максимального инварианта, вычисление плотности распределения максимального инварианта при гипотезе и альтернативе, зависящей от О только через соответствующий максимальный инвариант в пространстве параметров построение минимаксного решающего правила и упрощение его структуры. Однако существуют методы построения минимаксных правил, не требующие отыскания максимального инварианта в X и вычисления его распределения вероятности. Эти методы предполагают непосредственно вычисление отношения правдоподобия для максимального инварианта и применимы, по крайней мере, в случаях, когда G транзитивна в Так, метод, называемый в литературе по математической статистике методом Стейна [143, 147, 148], заключается в вычислении отношения правдоподобия максимального инварианта при фиксированных Оите применением интегрирования на группе G по формуле

где — условная плотность входной выборки по отношению к любой G - инвариантной мере на результат воздействия

оператором преобразования g на произвольные фиксированные значения параметров задачи левоинвариантная мера Хаара на группе

Отметим, что при весьма слабых ограничениях, которым удовлетворяют все рассмотренные ниже задачи обнаружения, одновременно является и отношением правдоподобия максимального инварианта Z в пространстве достаточной статистики задачи [77, 87].

Окончательно минимаксное решающее правило на основе может быть получено в виде

где - плотность наименее благоприятного распределения в , т. е. в области альтернатив.

Другой вариант формулы Стейна для вычисления , обоснованной, например, в [147], имеет вид

Она отличается тем, что в ней используются обычные плотности распределения вероятности входной выборки относительно меры Лебега, якобиан преобразования входной выборки с помощью

Наконец, третий вариант формулы вычисления может быть получен из (3.69) использованием соотношения инвариантности для плотностей и равенства где v — правоинвариантная мера Хаара на G, а именно

Обе последние формулы также пригодны для построения минимаксного решающего правила непосредственно по (3.68) в случае, когда G транзитивна в Распространение (3.69) и (3.70) на более общий случай нетранзитивной в группы G рассмотрен в

Формулу (3.70) можно интерпретировать как отношение правдоподобия типа (3.54), соответствующее наименее благоприятным мерам, индуцируемым в подпространствах параметров и мерой v. Действительно, пусть где f — непрерывное отображение G на G. В каждом случае, когда изоморфное отображение вида индуцирует в G меру v так, что вместо (3.70) получим

где g при фиксированных и играет роль новых неизвестных параметров помехи, наименее благоприятная мера в новом пространстве параметров помехи

Таким образом, минимаксные решающие правила для инвариантных задач могут быть получены и на основе общего вида минимаксных правил (3.53) и (3.54). Во многих задачах при этом роль наименее благоприятных распределений играют бесконечные инвариантные меры, которые с точностью до константы можно рассматривать как пределы некоторых последователеностей распределений вероятностей на