3.3.6. Минимаксное многоальтернативное обнаружение случайного сигнала на фоне гауссовского шума с неизвестной интенсивностью

В § 3.1 и 3.2 была рассмотрена теория оптимального многоальтернативного обнаружения сигналов на фоне помех с неизвестными параметрами по минимаксному критерию. В настоящем пункте эта теория будет применена к синтезу минимаксных правил многоальтернативного обнаружения случайных сигналов.

Пусть в дискретной выборке объема подлежащие обнаружению и различению L видов случайных гауссовских видео- или ВЧ сигналов описываются аналогично тому, как это сделано в начале § 3.3 с нулевыми средними значениями и действительными или эрмитовыми корреляционными матрицами

В обоих случаях гауссовский шум представляет собой совокупность действительных или комплексных выборочных значений с нулевыми средними и невырожденной корреляционной матрицей (соответственно действительной или эрмитовой), известной с точностью до множителя интенсивности :

Предполагается, что интенсивности сигналов как и шума , неизвестны априорно и могут принимать произвольные положительные значения. Одновременно может присутствовать лишь один из L альтернативных сигналов. Задача заключается в синтезе оптимального правила для принятия решения о наличии в сигнала с одновременным указанием его вида. В качестве критерия оптимизации используется рассмотренный в § 3.1 максиминный критерий (3.33), предполагающий максимизацию минимальной вероятности правильного обнаружения, где минимум берется по всем возможным видам сигнала и по неизвестным

параметрам смеси сигнала и шума в пределах контролируемых областей .

Воспользуемся общим видом минимаксных решающих правил многоальтернативного обнаружения (3.81) при условии ограничения вероятности правильного обнаружения сверху. В соответствии с выражениями для плотностей вероятности смеси сигнала и шума (3.88) и (3.110) задачи многоальтернативного обнаружения случайного сигнала являются инвариантными относительно группы G преобразований масштаба выборочного пространства X.

Рассмотрим сначала ВЧ сигналы. Как и ранее, наименее благоприятное распределение параметров предполагается сосредоточенным в точках и при этом наименее благоприятные меры на пространствах пропорциональны . В результате для многоальтернативного обнаружения сигналов получаем решающие правила с областями решений о присутствии сигналов

где отношение правдоподобия максимального -инварианта при коэффициенты, определяемые условиями минимакса вероятностей правильного обнаружения и заданным значением вероятности ложной тревоги а (3.79):

. В рассматриваемом случае обнаружения-различения случайных ВЧ сигналов [30]

где инвариантно-достаточная статистика для альтернативы. Это приводит к минимаксным правилам обнаружения-различения

где имеют вид: в общем случае

в случае слабых сигналов

в случае сильных сигналов ( — невырожденная)

в случае сильных сигналов ( — вырожденная)

Локально минимаксное правило , может быть дополнительно упрощено с помощью логарифмирования обеих частей в

(3.160) с заменой на и единичного порога на нулевой.

В приведенных выше решающих правилах константы так же как будучи в общем случае различными для различных правил, однозначно определяются условиями (3.159) либо их аналогами, соответствующими выбранному варианту относительного критерия оптимизации, например ргог

Параметры определяют форму последовательности альтернативных областей при

В случае, когда вероятность правильного обнаружения сигнала монотонно растет с ростом приведенные инвариантные правила являются и минимаксными инвариантными. В соответствии с аналогом теоремы Ханта — Стейна для задач проверки многоальтернативных гипотез эти правила являются просто минимаксными для обоих видов ограничения на вероятность ложной тревоги (3.34) и (3.35).

Решающие правила для случаев обнаружения слабых и сильных сигналов являются предельными формами минимаксных решающих правил соответственно для . В этом смыслеони могут рассматриваться как локально и асимптотически минимаксные правила.

В случае обнаружения случайных гауссовских видеосигналов минимаксные правила аналогичны с соответствующим изменением смысла входящих в них величин.

Для сравнения приведем решающие правила обнаружения-различения сигналов максимального правдоподобия. В общем случае эти правила имеют вид [33] -

где аналогичное (3.94) отношение максимальных значений функций правдоподобия параметров и при данных и оценка максимального правдоподобия для номера вида сигнала

Как и при в общем случае обнаружения случайных сигналов с неизвестными правило (3.165) требует численного поиска оценки в реальном времени. Однако для задачи обнаружения-различения при к правило максимального правдоподобия, как нетрудно убедиться, имеет следующую структуру:

где Как видно, правило (3.166) отличается от минимаксного правила (3.161) лишь конкретными коэффициентами что, естественно, сужает область его применения.

При симметричных задачах обнаружения-различения, когда, в частности, приведенные минимаксные решающие правила существенно упрощаются и оказываются эквивалентными правилу (3.166).

В заключение рассмотрим вариант многоальтернативного обнаружения случайных сигналов, когда одновременно может присутствовать группа из нескольких видов сигналов из общего их числа L. Число N видов сигналов в группе априорно неизвестно и может изменяться от одного до , где — объем комплексной выборки . В этом случае задача сводится к -альтернативному обнаружению

случайных сигналов на фоне помехи с неизвестной интенсивностью, где число сочетаний из L по

Обозначим через множество значений индекса соответствующих первичным сигналам, входящим в группу. Тогда минимаксное правило обнаружения-различения групп случайных сигналов будет иметь вид

Рис. 3.10. Структурная схема многоальтернативного обнаружителя случайных сигналов

Ясно, что в этом случае альтернативы, соответствующие различным не могут быть симметричными и роль относительных критериев оптимизации коэффициентов повышается.

Упрощенный вариант группового многоальтернативного обнаружения, так называемого квазиполного обнаружения-разрешения [135] отличается тем, что используется L двоичных обнаружителей где

а определяются заданным максимальным значением вероятности ложной тревоги совокупности обнаружителей и минимаксом по неизвестным параметрам шума и числу и параметрам возможных сигналов.

Один из возможных вариантов структурной схемы приведенных выше минимаксных обнаружителей-различителей представлен на рис. 3.10. На рисунке через обозначены монотонно возрастающие функции от -инвариантных статистик где - «сигнальные» статистики для каждой из альтернатив; - «шумовая» статистика, достаточная для параметра

помехи. Статистики Q, для решающих правил (3.160) с (3.161)-(3.164) равны соответственно:

В общем случае найти точное аналитическое выражение для характеристик многоальтернативного обнаружения различных видов сигналов при конечной выборке затруднительно. Лишь в случае, когда парциальные области решения, определяемые верхними неравенствами приведенных выше решающих правил, не пересекаются, например для некоторых задач при «удаленных» альтернативах и достаточно малых допустимых значениях характеристики многоальтернативного обнаружения легко определяются через характеристики соответствующих парциальных двоичных обнаружителей. В общем случае при том же заданном значении вероятности правильного обнаружения оптимальных обнаружителей будут, очевидно, меньше вероятностей правильного обнаружения соответствующих парциальных двоичных обнаружителей:

Вместе с тем в общем случае из очевидного неравенства следует оценка снизу или с учетом неравенства

Здесь есть вероятность обнаружения сигнала многоальтернативным обнаружителем при фактическом наличии сигнала с отношением сигнал-шум то же парциальным обнаружителем сигнала, а сумма равна вероятности перепутывания сигнала многоальтернативным обнаружителем, т. е. вероятности принятия решения о наличии любого из сигналов с при фактическом присутствии сигнала.

Оценки (3.172) и (3.173) могут оказаться полезными, когда вероятность ошибки перепутывания достаточно мала. Из неравенства следует оценка сверху для вероятности ложной тревоги многоальтернативного обнаружителя

Дальнейшее уточнение оценок возможно в случаях, когда что имеет место, в частности, когда альтернативные сигналы находятся в ортогональных подпространствах выборочного пространства, а шумы в этих подпространствах взаимно независимы.

В этом случае

и

Неравенства (3.172) — (3.175) позволяют оценить характеристики многоальтернативного обнаружения, используя полученные ранее соотношения для характеристик двоичных обнаружителей. При этом мерой погрешности при оценке вероятности правильного обнаружения являются величины или Приведенные соотношения позволяют также сделать вывод о том, что энергетические потери многоальтернативных обнаружителей при небольших L, связанные с неизвестными значениями интенсивности шума, столь же невелики, как и соответствующие потери парциальных двоичных обнаружителей. В случае необходимости сколь угодно точная оценка характеристик конкретных многоальтернативных обнаружителей может быть получена методом статистических испытаний. При малых энергетических потерях практически остаются справедливыми оценки характеристик обнаружителей-различителей, оптимальных при известных параметрах шума [20] и др.