Глава 3. МИНИМАКСНЫЕ ПРАВИЛА ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ

3.1. Минимаксные критерии оптимизации обнаружения сигналов на фоне шумов с неизвестными параметрами

3.1.1. Постановка задачи

Рассмотрим вначале задачу двоичного обнаружения сигнала на фоне шума с неизвестными параметрами, т. е. задачу решения о присутствии или отсутствии сигнала по входной информации в виде дискретной действительной или комплексной случайной выборки конечного объема из входных колебаний. Предполагается, что сигнал может входить в как аддитивно, так и не аддитивно с шумом, распределение вероятности которого зависит от неизвестных параметров.

Пусть семейство условных распределений вероятности выборки при различных значениях неизвестных параметров задачи есть где X — выборочное евклидово или -мерное пространство, пространство всех возможных значений д. Рассматриваемая задача обнаружения сигнала может быть сформулирована как задача проверки сложной статистической гипотезы при сложной альтернативе

Оптимизация обнаружения сигнала на фоне шумов с неизвестными параметрами заключается в построении решающего правила удовлетворяющего некоторому критерию оптимальности. Решающим правилом будем, как обычно [87,106], считать функцию на X со значениями в пространстве решений 2), состоящем в рассматриваемом случае из двух решений соответствующих отсутствию и присутствию сигнала. В соответствии с общей теорией статистических решений [106] можно ввести в рассмотрение рандомизированное решающее правило определяющее зависящее от распределение вероятности на 3). В этом случае решающее правило принимает решение d с помощью подходящего случайного механизма с вероятностью . В нашем случае положим . В соответствии с теорией проверки сложных гипотез функция есть критическая функция или рандомизированный тест (критерий) для проверки против

Пусть плотность распределения вероятности х (относительно меры Лебега) на X. Обозначим при через а при через где — неизвестные параметры шума.

Неизвестные параметры задачи обнаружения обычно бывает удобно представить в виде двух совокупностей параметров — полезных и мешающих . Полезными называются параметры, значения которых определяют принадлежность к альтернативным областям. Например, если у есть скалярный полезный параметр, имеющий смысл отношения средних энергий сигнала и шума в то области гипотезы и альтернативы могут

определиться в виде где некоторое отношение сигнал-шум . В этом случае . Все параметры к шума, входящие в являются мешающими.

Если сигнал и шум входят в аддитивно, что мы будем далее предполагать, является совокупностью неизвестных параметров сигнала и шума к . В этом случае и как полезный так и мешающие параметры являются функциями от параметров сигнала и шума.

При наличии неизвестных параметров основными характеристиками качества любого решающего правила двоичного обнаружения сигнала являются зависимости условной вероятности правильного обнаружения от 0 (функция мощности соответствующего теста), т. е. для , и ложной тревоги от к, т. е. рассматриваемые во всей области определения полезных и мешающих П параметров.

Для оптимизации обнаружения в рассматриваемых условиях в первую очередь целесообразно потребовать, чтобы условная вероятность ложной тревоги а не зависела от конкретных значений неизвестных параметров помехи к либо была ограничена сверху наперед заданным значением:

или

Решающие правила, удовлетворяющие (3.1), носят название подобных или, более полно, подобных выборочному пространству, так как ситуация с характерна для области принятия решения, совпадающей со всем выборочным пространством (87, 88]. С практической точки зрения наибольший интерес могли бы представить попытки отыскания равномерно наиболее мощного решающего правила которое при удовлетворении условию (3.1) или (3.2) обеспечило бы наибольшую возможную вероятность правильного обнаружения при любых значениях неизвестных параметров, т. е. удовлетворяло бы условию

где — множество решающих правил, удовлетворяющих (3.1) или (3.2). К сожалению, решающие правила с таким свойством не всегда существуют.

Любой критерий оптимальности обнаружения, приводящий к единственному решению, может быть связан, помимо принятых ограничений на множество рассматриваемых правил, с выбором способа упорядочения множества всех решающих правил удовлетворяющих этим ограничениям, т. е. заданием функционала качества с помощью которого для любой пары решающих правил можно устанавливать отношения предпочтения вида При этом оптимизация сводится к отысканию решающего правила такого, что

для всех имеем . Последнее неравенство по существу определяет критерий оптимальности. Оптимальное решающее правило будет существенно единственным, если для всех не равных за исключением, быть может, правил с критическими функциями, отличающимися от критической функции оптимального правила лишь на подмножествах нулевой меры для всех . Отметим, что в рассматриваемых в этой главе конкретных задачах минимаксные правила являются единственными.