Главная > Теория обнаружения сигналов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1.4. Характеристики обнаружения сигналов с неизвестной энергией

1.4.1. Сигнал с неизвестным энергетическим параметром

Простейшим энергетическим параметром является амплитуда, поскольку она входит в сигнал линейно. При обнаружении сигнала, единственным неизвестным параметром которого является амплитуда, асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения определяется из (1.42). Найдем вероятности ошибок в этом случае. Если полезный сигнал на входе приемника отсутствует, то согласно , где N — гауссовская случайная величина с параметрами распределения (0, 1). Следовательно, вероятность ложной тревоги

где интеграл вероятности (1.76).

При наличии сигнала на входе приемника так что условная вероятность пропуска сигнала равна

а безусловная определяется выражением

Соответственно при использовании асимптотически байесовского обнаружителя (1.41) и равных вероятностях наличия и отсутствия сигнала средняя условная вероятность ошибки

Безусловную среднюю вероятность ошибки получаем, усредняя по с весом W (сопредельная форма оптимального обнаружителя (1.42) и его характеристики (1.193)-(1.196) получены для случая, когда априори известно, что . Если предположить, что полезный сигнал известен с точностью до множителя а, который может менять знак (т. е. возможны значения ), то асимптотически байесовский алгоритм обнаружения имеет вид [48]: принимается решение о наличии сигнала, если . В этом случае средняя условная вероятность ошибки при запишется как

Чтобы оценить влияние незнания амплитуды сигнала на эффективность об наружения, предположим, что амплитуда обнаруживаемого сигнала так что отношение сигнал-шум для принятого сигнала. Тогда при использовании обнаружителя (1.41), асимптотически байесовского для обнаружения сигнала с априори неизвестной положительной амплитудой, средняя условная вероятность ошибки

В приемнике, асимптотически байесовском для сигнала, неизвестный множитель перед которым может менять знак,

Наконец, при априори известной амплитуде, когда обнаружение выполняется в соответствии с критерием идеального наблюдателя и средняя вероятность ошибки определяется из (1.93). Зависимость нанесена на

рис. 1.23 штрихпунктиром, зависимость (1.197) — сплошной и зависимость (1.198) - штриховой линиями. Кривые рис. 1.23 показывают, насколько снижается эффективность обнаружения, если априори неизвестна амплитуда сигнала. При этом наибольшие потери в эффективности обнаружения имеют место, если неизвестный множитель а может менять знак.

Пусть теперь реализация наблюдаемых данных при наличии сигнала имеет вид (1.43), т. е. полезный сигнал кроме неизвестной амплитуды содержит неизвестных неэнергетических параметров О. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения при этом определяется из (1.45), (1.47). При отсутствии полезного сигнала согласно (1.47) асимптотически оптимальный обнаружитель вырабатывает величину , где — нормированная шумовая функция. Приближенное выражение для распределения абсолютного максимума реализации шумовой функции определяется формулой (1.59). Следовательно, при обнаружений сигнала с неизвестными амплитудой и неэнергетическими параметрами вероятность ложной тревоги можно рассчитать по приближенной формуле (1.62), если в ней нормированный порог и заменить на порог с (1.45).

Рис. 1.23. Средняя вероятность ошибки для сигнала с неизвестной амплитудой

При наличии полезного сигнала выходной эффект асимптотически оптимального обнаружителя Обозначая аналогично отношение сигнал-шум для принятого сигнала, получаем, что где определяется формулой (1.54). Следовательно, условная вероятность пропуска сигнала при больших значениях определяется формулой (1.73) при подстановке в нее

Найдем характеристики обнаружения сигнала , содержащего произвольный энергетический параметр Поскольку в общем случае сигнал является нелинейной функцией Ф, будем считать, что имеет необходимое число непрерывных производных под. При этих предположениях асимптотически оптимальный обнаружитель согласно (1.53) должен вырабатывать функцию

для всех и принимать решение о наличии сигнала, если . Здесь — решение уравнения (1.11).

При отсутствии полезного сигнала на входе приемника

где ненормированная шумовая функция (1.13). Для сигнала с неизвестным энергетическим параметром шумовая функция представляет собой реализацию нестационарного гауссовского случайного процесса, для которого

Следовательно, также реализация нестационарного гауссовского случайного процесса со средним значением

и функцией корреляции (1.200). Согласно (1.53) определение вероятности ложной тревоги сводится к нахождению вероятности превышения порога с реализацией выходного сигнала оптимального приемника при Точных методов расчета этой вероятности пока неизвестно. Можно лишь получить ее приближенное значение для больших порогов .

Обозначим среднее число выбросов реализации за уровень с в элементарном интервале . Если порог с достаточно велик, т. е. , то поток выбросов реализации за уровень с можно приближенно считать пуассоновским. К тому же при этих условиях выбросы на различных элементарных интервалах можно приближенно считать статистически независимыми [25, 33, 43]. Следовательно, вероятность непревышения порога с приближенно равна

так что вероятность ложной тревоги при обнаружении сигнала с неизвестным энергетическим параметром определяется выражением

Найдем Общая формула для среднего числа выбросов нестационарного гауссовского случайного процесса за фиксированный уровень получена в [42, 43]. Учитывая (1.200), (1.201) и обозначая

находим

Подставляя это выражение в (1.202), получаем приближенное значение вероятности ложной тревоги. Заметим, что при приеме сигнала с неизвестным неэнергетическим параметром формула (1.202) переходит в (1.90). Действительно, в силу известных свойств сигнальной функции неэнергетического параметра не зависит от . Полагая получаем, что (1.202) совпадает в этом частном случае с 1.90). Найдем вероятность пропуска сигнала. При наличии сигнала на входе приемника

где — истинное значение неизвестного параметра принятого сигнала. Как и ранее (1.12), - отношение сигнал-шум для принятого сигнала. Согласно (1.53) решение об отсутствии сигнала принимается, если шах Здесь положение абсолютного максимума , т. е. при наличии сигнала, оценка максимального правдоподобия параметра . В [27] показано, что при имеем так что при достаточно больших отношениях сигнал-шум можно положить

Поскольку гауссовская случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией то вероятность пропуска

Таким образом, при обнаружении сигнала с неизвестным энергетическим параметром вероятности ошибок могут быть приближенно рассчитаны по формулам (1.202), (1.203). Точность этих формул возрастает с увеличением .

1
Оглавление
email@scask.ru