1.4. Характеристики обнаружения сигналов с неизвестной энергией

1.4.1. Сигнал с неизвестным энергетическим параметром

Простейшим энергетическим параметром является амплитуда, поскольку она входит в сигнал линейно. При обнаружении сигнала, единственным неизвестным параметром которого является амплитуда, асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения определяется из (1.42). Найдем вероятности ошибок в этом случае. Если полезный сигнал на входе приемника отсутствует, то согласно , где N — гауссовская случайная величина с параметрами распределения (0, 1). Следовательно, вероятность ложной тревоги

где — интеграл вероятности (1.76).

При наличии сигнала на входе приемника так что условная вероятность пропуска сигнала равна

а безусловная определяется выражением

Соответственно при использовании асимптотически байесовского обнаружителя (1.41) и равных вероятностях наличия и отсутствия сигнала средняя условная вероятность ошибки

Безусловную среднюю вероятность ошибки получаем, усредняя по с весом W (сопредельная форма оптимального обнаружителя (1.42) и его характеристики (1.193)-(1.196) получены для случая, когда априори известно, что . Если предположить, что полезный сигнал известен с точностью до множителя а, который может менять знак (т. е. возможны значения ), то асимптотически байесовский алгоритм обнаружения имеет вид [48]: принимается решение о наличии сигнала, если . В этом случае средняя условная вероятность ошибки при запишется как

Чтобы оценить влияние незнания амплитуды сигнала на эффективность об наружения, предположим, что амплитуда обнаруживаемого сигнала так что отношение сигнал-шум для принятого сигнала. Тогда при использовании обнаружителя (1.41), асимптотически байесовского для обнаружения сигнала с априори неизвестной положительной амплитудой, средняя условная вероятность ошибки

В приемнике, асимптотически байесовском для сигнала, неизвестный множитель перед которым может менять знак,

Наконец, при априори известной амплитуде, когда обнаружение выполняется в соответствии с критерием идеального наблюдателя и средняя вероятность ошибки определяется из (1.93). Зависимость нанесена на

рис. 1.23 штрихпунктиром, зависимость (1.197) — сплошной и зависимость (1.198) - штриховой линиями. Кривые рис. 1.23 показывают, насколько снижается эффективность обнаружения, если априори неизвестна амплитуда сигнала. При этом наибольшие потери в эффективности обнаружения имеют место, если неизвестный множитель а может менять знак.

Пусть теперь реализация наблюдаемых данных при наличии сигнала имеет вид (1.43), т. е. полезный сигнал кроме неизвестной амплитуды содержит неизвестных неэнергетических параметров О. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения при этом определяется из (1.45), (1.47). При отсутствии полезного сигнала согласно (1.47) асимптотически оптимальный обнаружитель вырабатывает величину , где — нормированная шумовая функция. Приближенное выражение для распределения абсолютного максимума реализации шумовой функции определяется формулой (1.59). Следовательно, при обнаружений сигнала с неизвестными амплитудой и неэнергетическими параметрами вероятность ложной тревоги можно рассчитать по приближенной формуле (1.62), если в ней нормированный порог и заменить на порог с (1.45).

Рис. 1.23. Средняя вероятность ошибки для сигнала с неизвестной амплитудой

При наличии полезного сигнала выходной эффект асимптотически оптимального обнаружителя Обозначая аналогично отношение сигнал-шум для принятого сигнала, получаем, что где определяется формулой (1.54). Следовательно, условная вероятность пропуска сигнала при больших значениях определяется формулой (1.73) при подстановке в нее

Найдем характеристики обнаружения сигнала , содержащего произвольный энергетический параметр Поскольку в общем случае сигнал является нелинейной функцией Ф, будем считать, что имеет необходимое число непрерывных производных под. При этих предположениях асимптотически оптимальный обнаружитель согласно (1.53) должен вырабатывать функцию

для всех и принимать решение о наличии сигнала, если . Здесь — решение уравнения (1.11).

При отсутствии полезного сигнала на входе приемника

где ненормированная шумовая функция (1.13). Для сигнала с неизвестным энергетическим параметром шумовая функция представляет собой реализацию нестационарного гауссовского случайного процесса, для которого

Следовательно, также реализация нестационарного гауссовского случайного процесса со средним значением

и функцией корреляции (1.200). Согласно (1.53) определение вероятности ложной тревоги сводится к нахождению вероятности превышения порога с реализацией выходного сигнала оптимального приемника при Точных методов расчета этой вероятности пока неизвестно. Можно лишь получить ее приближенное значение для больших порогов .

Обозначим среднее число выбросов реализации за уровень с в элементарном интервале . Если порог с достаточно велик, т. е. , то поток выбросов реализации за уровень с можно приближенно считать пуассоновским. К тому же при этих условиях выбросы на различных элементарных интервалах можно приближенно считать статистически независимыми [25, 33, 43]. Следовательно, вероятность непревышения порога с приближенно равна

так что вероятность ложной тревоги при обнаружении сигнала с неизвестным энергетическим параметром определяется выражением

Найдем Общая формула для среднего числа выбросов нестационарного гауссовского случайного процесса за фиксированный уровень получена в [42, 43]. Учитывая (1.200), (1.201) и обозначая

находим

Подставляя это выражение в (1.202), получаем приближенное значение вероятности ложной тревоги. Заметим, что при приеме сигнала с неизвестным неэнергетическим параметром формула (1.202) переходит в (1.90). Действительно, в силу известных свойств сигнальной функции неэнергетического параметра не зависит от . Полагая получаем, что (1.202) совпадает в этом частном случае с 1.90). Найдем вероятность пропуска сигнала. При наличии сигнала на входе приемника

где — истинное значение неизвестного параметра принятого сигнала. Как и ранее (1.12), - отношение сигнал-шум для принятого сигнала. Согласно (1.53) решение об отсутствии сигнала принимается, если шах Здесь положение абсолютного максимума , т. е. при наличии сигнала, — оценка максимального правдоподобия параметра . В [27] показано, что при имеем так что при достаточно больших отношениях сигнал-шум можно положить

Поскольку гауссовская случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией то вероятность пропуска

Таким образом, при обнаружении сигнала с неизвестным энергетическим параметром вероятности ошибок могут быть приближенно рассчитаны по формулам (1.202), (1.203). Точность этих формул возрастает с увеличением .