3.2.2. Методы отыскания наименее благоприятных распределений неизвестных параметров задачи

Общим методом отыскания наименее благоприятного распределения вероятности для подобных минимаксных решающих правил (или пары распределений для минимаксных правил при условии ограниченной сверху вероятности ложной тревоги) является согласно (3.45) и (3.46) поиск минимума функции условной байесовской мощности или максимума функции байесовского риска на множестве всех возможных априорных распределений неизвестных параметров [103, 125, 140].

В общем случае такой поиск может быть реализован лишь приближенно численными итеративными методами с аппроксимацией непрерывных распределений вероятности дискретными и оценкой функции мощности соответствующих байесовских решающих правил методом статистических испытаний. В настоящее время этот метод вполне реализуем для состоящих из конечного (не слишком большого)

числа точек, например в задачах многоальтернативного обнаружения для поиска наименее благоприятной совокупности априорных вероятностей альтернатив (см. п. 3.2.6). В этих случаях функция байесовского риска является унимодальной непрерывной вогнутой функцией и для поиска ее экстремума можно применять хорошо разработанные градиентные, квазиградиентные и другие методы. Следует отметить, что процедура приближенного отыскания наименее благоприятных распределений и соответственно синтеза приближенно минимаксных решающих правил может производиться заранее с использованием ЭВМ.

Среди задач обнаружения сигналов, в которых область не является дискретной, существует важный для практики класс задач, где наименее благоприятное распределение вероятности неизвестных параметров оказывается сосредоточенным в одной или нескольких точках. Эти точки нередко нетрудно предположительно определить исходя из физического смысла соответствующих параметров или в результате анализа характеристик обнаружения соответствующих байесовских решающих правил. В наиболее простых случаях, когда наименее благоприятное распределение сосредоточено в одной точке последняя обязательно принадлежит области на которой огибающая вероятности правильного обнаружения достигает минимального в значения, т. е.

Здесь есть вероятность правильного обнаружения байесовских решающих правил, оптимизированных для каждого при данном условии на вероятность ложной тревоги в . Следовательно, если состоит из одной точки , то , причем находится непосредственным анализом огибающей.

В общем случае контроль правильности сделанных предположений и окончательное доказательство минимаксности полученных решающих правил может производиться по отмеченному ранее необходимому и достаточному признаку наименее благоприятных распределений вероятности (3.55), который можно переписать в виде

Здесь предполагаемое минимаксное решающее правило - подпространство, принадлежащее в котором сосредоточено наименее благоприятное распределение вероятности неизвестных параметров задачи.