3.1.4. Критерий локальной оптимальности

Приведенные выше критерии являются достаточно общими и, в частности, применимы при любом (в том числе малом) конечном объеме выборки и любом отношении сигнал-шум. В некоторых случаях полезно ограничиться рассмотрением только «близких» гипотез, например обнаружением относительно слабых сигналов при сравнительно большом объеме выборки. Оптимизация обнаружения сигналов в этих условиях часто упрощает оптимальные решающие правила и облегчает их синтез. Вместе с тем такие правила могут обладать приемлемыми характеристиками и при не слишком малых отношениях сигнал-шум и сравнительно небольших объемах выборки.

Предположим, что функция мощности произвольного решающего правила непрерывно дифференцируема по параметру и проверяется гипотеза Тогда в качестве критерия локальной оптимальности для альтернатив типа можно потребовать максимизации минимума по первой частной производной Р по у в точке . В этом случае решающее правило называется максимизирующим производную функции мощности, если для любого другого решающего правила

Здесь П — множество , соответствующее

Приведенный критерий дает наиболее определенные гарантии в локальной области, если под V подразумевать лишь множество решающих правил с заданной фиксированной вероятностью ложной тревоги.

Если производные по 7 в (3.18) в точке не существуют (равны бесконечности), то у в (3.18) можно заменить на где константа выбирается такой наименьшей, Если же указанные производные по у в точке равны нулю, критерий локальной оптимальности может предусматривать максимизацию минимума по производной функции мощности, т. е. ненулевой производной наименьшего порядка. Тогда вместо (3.18) можно потребовать

Другим типом критерия локальной минимаксной оптимальности может служить аналогичное обобщение известного критерия локальной наибольшей мощности для альтернатив типа . В этом случае локально наиболее мощным критерием называется критерий если для любого другого критерия найдется такое число что

Наконец, для рассматриваемых задач обнаружения может быть применен известный минимаксный критерий локальной оптимальности для альтернатив типа Согласно этому критерию решающее правило называется локально минимаксным, если, каким бы ни было другое решающее правило, найдется такое что

где

Отметим, что хотя критерии (3.18), (3.20) и (3.21) в общем случае не эквивалентны, между ними существует тесная связь. В частности, как нетрудно видеть, решающее правило, удовлетворяющее (3.20), функция мощности которого при любом не убывает по Y, удовлетворяет также и критерию . С другой стороны, если существует единственное подобное решающее правило удовлетворяющее (3.18) или (3.19), то оно должно также удовлетворять и критерию (3.20). В результате нередко оказывается, что одно и то же решающее правило удовлетворяет одновременно всем приведенным выше критериям локальной оптимальности.

Для рассмотренных критериев локальной оптимальности можно построить их аналоги и в терминах порогового отношения сигнал-шум.

Применительно к задачам обнаружения сигналов критерии (3.18), (3.20) и (3.21) применялись в [83].