Глава 4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

4.1. Основные положения

Рассмотренные выше решающие правила основаны на предположении, что задача проверки статистических гипотез решается однократно после получения выборки объема Представляет интерес другой подход к решению той же задачи, при котором возможность принятия решения в пользу гипотезы или альтернативы проверяется многократно по мере получения каждого нового элемента выборки или некоторой группы элементов. Такие многошаговые процедуры называются последовательными, в отличие от рассмотренных выше одношаговых непоследовательных процедур. Ниже рассматриваются особенности и характеристики таких процедур и возможности их использования в параметрических задачах обнаружения сигналов.

При последовательном анализе статистических гипотез для каждого шага, на котором производится попытка вынести решение, должны быть определены три области значений решающей статистики: допустимая критическая и область неопределенности При попадании решающей статистики в область принимается решение о справедливости гипотезы если решающая статистика оказывается в области принимается альтернатива . В случае, если значение решающей статистики попадает в область неопределенности считается, что информации, имеющейся на шаге, недостаточно и необходимо получение следующего элемента выборки.

В отличие от непоследовательных методов, где при известных распределениях выборочных значений объем выборки определяется заранее исходя из необходимости получения заданных вероятностей ошибок первого и второго рода и в случае последовательного анализа этот объем является случайной величиной, зависящей от выборочных данных.

Особенность последовательного анализа заключается в возможности учета при выборе правил прекращения наблюдения и вынесения решения не только стоимости тех или иных ошибочных решений, но и стоимости проведения эксперимента по получению элементов выборки. В соответствии с этим на различных шагах процедуры могут выбираться разные способы разбиения множества значений решающей статистики на подмножества . Так же, как и способы выбора решающего порога при выборке фиксированного объема, эти способы могут оптимизироваться в соответствии с заданным критерием качества. Несколько примеров выбора областей представлено на рис. 4.1.

Другой важной особенностью последовательного анализа является возможность целенаправленно влиять на ход эксперимента на последующих шагах с учетом результатов, полученных на предшествующих шагах, в том числе при меняющихся независимо от экспериментатора условиях наблюдения.

Один из наиболее эффективных последовательных критериев был предложен и исследован А. Вальдом [149]. Последовательный критерий Вальда состоит в сравнении на каждом шаге отношения правдоподобия выборки с двумя фиксированными порогами

Рис. 4.1. Примеры разбиения области значений решающей статистики порогами: а — переменные пороги при последовательном анализе; б — постоянные пороги (при — последовательный анализ Вальда); в — усеченный последовательный анализ; г — решающее правило Неймана — Пирсона с порогом С

При считается справедливой гипотеза при принимается альтернатива . При условии эксперимент продолжается.

Решающие пороги вальдовского критерия могут быть найдены по заданным вероятностям ошибок и на основе следующих рассуждений (87, 149].

Обозначим множество всех выборок соответственно всех векторов через X, а подмножества выборок, приводящих к решениям в пользу через соответственно.

Условием принятия решения о справедливости альтернативы является

Это условие справедливо для любой выборки, попадающей в область Поэтому можно проинтегрировать обе части последнего неравенства по этой области. Тогда получим

Но интеграл в правой части выражает вероятность ошибки первого рода (ложной тревоги), а интеграл в левой части — мощность критерия (вероятность правильного обнаружения). Поэтому

Последнее неравенство является оценкой сверху для

Рассматривая аналогично случай вынесения решения в пользу гипотезы получаем

что после интегрирования по области дает неравенство

определяющее оценку снизу для порога . Отметим, что оценки решающих порогов определяются только вероятностями ошибок и не зависят от вида различаемых распределений. Эти оценки весьма близки к их истинным значениям в случаях, когда распределения мало отличаются (случай близких гипотез). В этих случаях приращения решающей статистики за один шаг последовательной процедуры в среднем малы, и можно пренебречь «перескоком» решающей статистики за пороги в момент принятия решения. В задачах обнаружения сигналов это соответствует случаю малого отношения сигнал-шум, при котором распределения шума и смеси сигнала с шумом отличаются незначительно.

На практике для независимых выборок удобно пользоваться не отношением правдоподобия, а его логарифмом. При этом

Накопленное значение решающей статистики на каждом шаге сравнивается с решающими порогами

В случаях принимается соответственно решение о справедливости или необходимости продолжения эксперимента. Показано, что для независимой однородной выборки с вероятностью единица число шагов последовательной процедуры конечно [87, 149].

Таким образом, проведение последовательной процедуры Вальда слагается из операций вычисления решающей статистики для каждого элемента выборки, вычисления накопленного значения решающей статистики и сравнения его на каждом шаге процедуры с решающими порогами А и В. Соответствующая структурная схема последовательного обнаружителя приведена на рис. 4.2, где ВРС — вычислитель решающей статистики; Н — накопитель решающей статистики; ПУ — пороговое устройство.

Вальдом совместно с Вольфовитцем доказана теорема об оптимальности последовательного критерия отношения вероятностей [150].

Эта теорема утверждает, что среди всех критериев, обеспечивающих решение задачи различения статистических гипотез с вероятностями ошибок первого и второго рода, не превышающими заданных значений процедура последовательного анализа отношения правдоподобия с фиксированными порогами требует минимального в среднем объема выборки. Таким образом, теорема Вальда — Вольфовитца доказывает оптимальность последовательного критерия Вальда для временной меры стоимости наблюдений. При доказательстве теоремы предполагается, что различаемые гипотезы являются простыми, выборка — независимой и однородной, наблюдаемое распределение точно совпадает с ожидаемым для гипотезы или альтернативы, перескоком решающей статистики за пороги (рис. 4.1, б) можно пренебречь.

Рис. 4.2. Структурная схема последовательного обнаружителя

При нарушении одного или нескольких предположений, сделанных при доказательстве теоремы Вальда—Вольфовитца, проблема поиска оптимального последовательного критерия усложняется. Решить ее, как правило, удается только при допущениях, сильно ограничивающих область возможных приложений полученных алгоритмов.

Однако результаты работ советских [2, 3, 152—154, 200, 202] и зарубежных [151, 156] авторов показывают, что для многих практически важных задач, не удовлетворяющих условиям теоремы Вальда—Вольфовитца, могут быть предложены эффективные модификации критерия Вальда, мало уступающие строго оптимальному критерию (если таковой известен).

Так, применительно к задаче обнаружения коррелированных (марковских) сигналов на фоне коррелированных помех оптимальный обнаружитель должен строиться на основе векторной достаточной статистики координатами которой кроме логарифма отношения правдоподобия являются значения входного процесса и выходного эффекта блока оптимальной фильтрации сигнала . Поиск оптимальных решающих границ, представляющих в этом случае некоторые гиперповерхности, встречает серьезные математические трудности. В то же время последовательный критерий, основанный на сравнении скалярной статистики с постоянными порогами, является в этой задаче асимптотически оптимальным [3]. В задаче обнаружения коррелированных сигналов на фоне белого шума [1571 этот же обнаружитель является оптимальным для информационной меры стоимости наблюдения. Для временной меры стоимости он снова оказывается асимптотически оптимальным, а при больших отношениях сигнал-шум лишь незначительно [158] уступает более сложному оптимальному обнаружителю, использующему достаточную статистику и переменные во времени пороги.

Предположение об однородности решающей выборки используется в 11491 при доказательстве того факта, что с вероятностью, равной единице, последовательная процедура завершится за конечное время. Нетрудно показать, однако (см. § 4.3), что для независимой выборки это фундаментальное свойство критерия отношения правдоподобия остается в силе при замене указанного условия более общим требованием отличия от нуля дисперсии решающей статистики Z, которое на практике всегда выполняется и для неоднородных выборок.

Наличие существенного перескока через пороги в момент принятия решения приводит к трму, что вероятности ошибок оказываются существенно меньше значений, определяемых вальдовскими формулами (4.1) и (4.2). Расчет оптимальных порогов при этом усложняется, однако он всегда возможен с применением тех или иных численных методов (см. § 4.2). Полученные таким способом алгоритмы сохраняют свою эффективность во всем диапазоне отношений сигнал-шум, вплоть до момента вырождения последовательной процедуры в одношаговую.

Непосредственное применение критерия Вальда к задачам различения сложных гипотез часто оказывается малоэффективным [87, 152, 153]. Однако к настоящему времени разработан ряд методов, позволяющих сохранить преимущества последовательного анализа и при решении задач со сложными гипотезами (см. § 4.3, 4.4).

Таким образом, последовательный критерий отношения правдоподобия может служить основой для синтеза эффективных алгоритмов, применимых для решения широкого круга задач, условия которых не полностью совпадают с условиями теоремы Вальда—Вольфовитца. Получаемые на этой основе процедуры требуют меньшего в среднем объела выборки по сравнению с другими известными критериями, хотя строгое доказательство их оптимальности в настоящее время отсутствует.