1.5. Сигнал с неизвестными неэнергетическими параметрами при многоканальном приеме

1.5.1. Каналы с постоянными параметрами

Рассмотрим задачу обнаружения v сигналов, поступающих по различным каналам передачи информации. Эти каналы могут быть разнесены по времени, по частоте, по направлению прихода сигналов, по поляризации и т. д. Пусть на выходе канала наблюдается аддитивная смесь

сигнала и помехи или Введем в рассмотрение векторы-столбцы

Тогда на входе приемника имеем вектор или Как и ранее (§ 1.2), полагаем, что полезный сигнал содержит неизвестных неэнергетических параметров значения которых одинаковы для всех компонент вектора сигнала . В качестве помехи будем рассматривать вектор все компоненты которого являются гауссовскими стационарными и стационарно связанными случайными процессами с нулевыми средними значениями и корреляционной матрицей

где означает транспонирование.

Так как неизвестные параметры сигнала предполагаются неэнергетическими, то приемник максимального правдоподобия должен вырабатывать функцию [54]

Для всех и принимать решение о наличии сигнала, если шах . Здесь вектор определяется из решения системы интегральных уравнений

Полагаем, что сигналы обладают необходимым числом непрерывных производных по всем неизвестным параметрам так что приемник максимального правдоподобия является асимптотически оптимальным

Подставляя в (1.225) реализацию наблюдаемых данных при наличии полезного сигнала получаем , а в его отсутствие Здесь приняты обозначения

- нормированные сигнальная и шумовая функции. Как и при одноканальном приеме с неизвестными неэнергетическими параметрами [27], для этих функций справедливы соотношения

Нетрудно убедиться, что функции (1.228), (1.229) обладают всеми остальными свойствами сигнальной и шумовой функций на выходе оптимального приемника [27]. Следовательно, вероятности ошибок рода при обнаружении вектора могут быть рассчитаны по (1.62) и (1.73), если в эти формулы подставить значение отношения сигнал-шум из (1.227), а при вычислении приведенного объема использовать сигнальную функцию (1.228).

Конкретизируем общие соотношения для случая, когда сигналы в различных каналах отличаются только амплитудами: , так что

Положим также, что корреляционная матрица гауссовского шума (1.224) может быть представлена в виде

где — числовая матрица, у которой на главной диагонали лежат дисперсии шума в соответствующем канале, а коэффициент корреляции помехи. При этих предположениях решение уравнения (1.226) можно записать как

Здесь определяется из уравнения

Подставляя (1.230) и (1.232) в (1.227) и (1.228), находим, что

где

- отношение сигнал-шум в одном канале при единичной амплитуде сигнала и единичной дисперсии шума. Нормированная сигнальная функция (1.234) теперь совпадает с нормированной сигнальной функцией при одноканальном приеме (1.14), (1.54). Таким образом/для сигнала (1.230) и помехи (1.231) вероятности ошибок определяются формулами (1.62), (1.73) притом же значении приведенного объема , что и при одноканальном приеме. Различие одноканального и многоканального приема в этом случае сводится к различию в отношении сигнал-шум. При одноканальном приеме в (1.62), (1.73) надо подставлять отношение сигнал-шум из (1.29), а при многоканальном — из (1.233). Следовательно, эффективность обнаружения при передаче сигнала по одному и по v каналам можно сравнивать по отношению сигнал-шум.

Рассмотрим, в какой степени увеличение числа каналов влияет на эффективность обнаружения. Предположим, что по одному каналу, дисперсия в котором равна , передается сигнал . Очевидно, энергия этого сигнала равна суммарной энергии всех v сигналов (1.230). Для сигнала , передаваемого по каналу, отношение сигнал-шум . Соответственно эффективность обнаружения при использовании всех каналов будет не хуже, чем при использовании одного канала, если

Как отношение сигнал-шум так и выигрыш в эффективности обнаружения (1.235) зависят от распределения суммарной энергии всех сигналов между каналами.

Найдем оптимальное распределение суммарной энергии между v каналами, которое обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум при условии, что задано этого обозначим и перепишем (1.233) как

Отсюда следует, что задача определения оптимального распределения энергии сигналов между каналами сводится к определению вектора максимизирующего квадратичную форму при условии

Общее решение этой задачи известно [11]. Именно: пусть — наименьшее собственное значение матрицы , тогда

При этом максимум достигается при выборе в качестве собственного вектора матрицы соответствующего наименьшему собственному значению и удовлетворяющего условию (1.236). Следовательно, чтобы найти оптимальное распределение энергии сигнала между каналами, достаточно определить наименьшее собственное значение матрицы и соответствующий собственный вектор

Учитывая, что максимальное значение отношения сигнал-шум определяется наименьшим собственным значением матрицы покажем, что при увеличении числа каналов и оптимальном распределении энергии сигнала эффективность обнаружения не снижается. Предположим, что сигнал (1.230) при той же суммарной энергии передается по каналам , а корреляционная матрица шумов имеет вид . При этом полагаем, что При оптимальном распределении энергии сигнала между каналами, максимальное отношение сигнал-шум аналогично (1.237) равно шах где наименьшее собственное значение матрицы Однако из теоремы отделения Штурма [11] следует, что всегда при Значит, при имеем шах Из этого соотношения, в частности, получаем, что при оптимальном распределении энергии всегда выполняется (1.235). Следует отметить, что в некоторых случаях оптимальное распределение оказывается таким, что вся энергия сигнала должна передаваться по одному каналу. Например, если символ Кронекера и то , т. е. вся энергия должна передаваться по первому каналу.