3.2.5. Синтез минимаксных решающих правил по относительным критериям оптимальности
Методы синтеза оптимальных решающих правил по относительным минимаксным критериям типа (3.22), (3.23) в основном аналогичны рассмотренным выше методам синтеза минимаксных правил. Так, из теории строгих критериев [87, 139]) следует, что относительные минимаксные правила существуют и с учетом выбранных ограничений на множество рассматриваемых правил по уровню ложных тревог могут отыскиваться в соответствующем классе байесовских правил, будучи эквивалентными байесовским правилам относительно наименее благоприятных распределений неизвестных параметров задачи [125]. Однако наименее благоприятные распределения в этом случае; вообще говоря, будут отличаться от таковых для обычных минимаксных решающих правил, что влечет за собой отличие и самих правил.
Необходимые и достаточные условия наименьшей благоприятности распределений аналогичны по формулировке рассмотренным выше условиям (3.55) (см. теорему 2.1 в [87]), но относятся не непосредственно к условному среднему риску или к вероятности правильного обнаружения, а к соответствующим относительным условным характеристикам качества решающих правил для различных неизвестных параметров О. Так, для критерия оптимальности (3.22) наименее благоприятные распределения вероятностей 
и 
должны быть сосредоточены в областях 
и 
, где относительная вероятность правильного обнаружения 
и вероятность ложной тревоги 
для соответствующего байесовского правила 
постоянны и достигают своих нижней и верхней грани. Аналогичная ситуация имеет место и для критериев минимакса энергетических потерь, где роль 
играет 
Для инвариантных задач, удовлетворяющих условиям обобщенной теоремы Ханта-Стейна [139, 146], относительные минимаксные правила могут также отыскиваться среди инвариантных рассмотренными выше методами.
В инвариантных задачах обнаружения с 
в которых G транзитивна в 
, условная минимаксная вероятность правильного обнаружения 
и функции 
не зависят от 
. Следовательно, в этом случае минимаксные правила по относительным критериям (3.23) и (3.27) эквивалентны соответствующим вариантам минимаксного правила (3.68). Однако в этих же условиях не обязательно старается различие между относительным критерием оптимальности по отношению к 
и относительным критерием (3.22), так как, хотя 
, также не зависит от 
, разность 
не
обязана быть постоянной. В тех же случаях, когда условное минимаксное правило относительно 
не зависит от у, оно при любых у достигает 
и тем самым удовлетворяет относительному критерию (3.22) с 
, замененной на 
. Конечно, в задачах, где минимаксное решающее правило не зависит от 
и является равномерно наиболее мощным правилом уровня а, оно удовлетворяет также и всем рассмотренным здесь относительным минимаксным критериям.
Из изложенного в этом параграфе можно заключить, что минимаксные решающие правила для двоичного обнаружения сигналов на фоне помех с неизвестными параметрами, отвечающие рассмотренным выше относительным критериям, также имеют общее представление вида (3.53)
где 
коэффициент правдоподобия для некоторого вспомогательного наименее благоприятного распределения вероятности неизвестных параметров смеси сигнала и помехи и произвольного распределения вероятности параметров помехи, а 
пороговый уровень, зависящий от реализации в общем случае векторной достаточной статистики t для семейства распределения вероятности помехи. Соответствующая обобщенная структурная схема минимаксного обнаружителя [119] приведена ранее на рис. 3.1.
