3.3.4. Структурные схемы обнаружителей

Структурная схема обнаружителя случайных видеосигналов, реализующая минимаксное решающее правило (3.98), представлена на рис. 3.5. Эта схема, как и схема рис. 3.2, состоит из двух каналов обработки. Основной канал состоит из блока вычисления соответствующей квадратичной формы входных выборочных значений и схемы сравнения с переменным порогом. Порог автоматически регулируется по результатам вычисления квадратичной формы, совпадающей с достаточной статистикой для помехи.

Аналогичный вид имеет и схема обнаружения случайных ВЧ сигналов.

Применением линейного преобразования оптимальные решающие правила (3.91), (3.98), (3.99), (3.101), (3.103) и соответствующие им структурные схемы могут быть дополнительно развернуты.

Применим к вектору исходных выборочных значений невырожденное линейное преобразование Р

одновременно приводящее нормированную корреляционную матрицу шума к единичной матрице

Рис. 3.5. Структурная схема минимаксного обнаружителя случайного видеосигнала

, а соответствующую матрицу сигнала к диагональной матрице При этом, корреляционная матрица сигнала и шума, равная при взаимной независимости шума и сигнала также будет приведена к диагональной форме

Преобразование Р, удовлетворяющее уравнениям

так же как и коэффициенты определяются матрицами .

Подставляя вместо соответственно нетрудно получить следующие упрощенные представления статистик решающих правил в терминах преобразованной выборки:

В результате вместо решающих правил (3.91), (3.99), (3.101), (3.103) и (3.98) получаем следующие соответственно эквивалентные им правила:

В частности, при диагональных когда правило (3.128) эквивалентно правилам (3.111) и (3.114).

Напомним, что решающие правила (3.128), (3.129), (3.132) оптимальны в общем случае, правило (3.130) — в случае слабых сигналов и

правило (3.131) — в случае обнаружения сильных сигналов. Для правила (3.131) предполагается, что (т. е. матрица не особенная). Однако в случае, когда некоторые как видно из более общего правила (3.132), при вместо (3.131) можно применять решающее правило

или эквивалентные ему правила

и

где штрихи в S и означают исключение из суммы членов, соответствующих .

Рис. 3.6. Структурная схема минимаксного обнаружителя случайного сигнала с линейным преобразованием

Отметим, что приведенные предельные варианты решающих правил относительно v нетрудно было бы получить и исходя из правил относительно справедливых для общего случая. Так, правила (3.129), (3.131) при легко находятся из (3.128), а правило (3.130) при из (3.132).

Решающее правило (3.133) можно получить и непосредственно из правила (3.106), воспользовавшись тем, что

где А — прямоугольная -матрица с ненулевыми элементами

Коэффициенты С, определяемые вероятностью ложной тревоги, в общем елучае различны для различных правил и связаны между собой простыми соотношениями.

Структура приемников, реализующих оптимальные решающие правила, непосредственно вытекает из самих выражений для решающих правил.

На рис. 3.6 приведена развернутая структурная схема минимаксных, обнаружителей [117]. На нем Р — линейная система (дискретный

линейный фильтр) с матрицей преобразования Р; КВ — квадраторы; S — сумматоры входных значений; умножитель на постоянное число С; ПУ — устройство порогового сравнения; линейные системы с диагональными матрицами преобразований, осуществляющие умножение выходных величин на определенные весовые коэффициенты. Так, для правила (3.132) D могут иметь следующие значения:

или

В результате простейших эквивалентных преобразований правил или самих схем можно получить ряд эквивалентных структурных схем оптимальных обнаружителей. В различных конкретных задачах могут оказаться удобными те или иные эквивалентные варианты таких схем. В частности, весовая обработка может производиться частично или полностью и после квадратора (см. рис. 3.7, где ).

Рис. 3.7. Вариант структурной схемы с весовой обработкой после квадратичного детектора

Конкретную структуру оптимальных решающих правил в целом можно находить и непосредственным развертыванием квадратичных форм, входящих в решающие правила (3.91), (3.98) и др., обратив соответствующие матрицы. Получаемая при этом структура обнаружителей, вообще говоря, может и отличаться от рассмотренных выше. Так, правило (3.99), очевидно, представимо в виде

где элементы квадратной корреляционной матрицы

В таких частных случаях, как рассмотренный в п. 3.3.2 случай обнаружения нестационарного некоррелированного сигнала на фоне нестационарного некоррелированного шума, оба подхода приводят к одинаковым решающим правилам и схемам.

Действительно, правило (3.114) совпадает с правилом (3.132), где . В этом случае . Во многих интересных задачах преобразование также нетрудно найти непосредственно.

В общем случае задача определения Р совпадает с известной задачей вычисления главной матрицы W для регулярного пучка пары квадратичных

форм с матрицами Она решается известными мето дами одновременного приведения двух квадратичных форм соответственно к каноническому и нормальному видам. Из соотношений (3.126) и следует, что если , то , т. е. матрица искомого преобразования Р совпадает с транспонированной главной матрицей W пучка. Здесь — характеристические числа регулярного пучка форм

равные собственным числам матриц

В заключение рассмотрим случай, когда параметры преобразованного сигнала имеют лишь два возможных значения. Пусть для определенности

В этом случае оптимальные решающие правила приводятся к виду

или к эквивалентному виду

т. е. оказываются равномерно наиболее мощными среди .

Структурные схемы правил (3.140) и (3.141) очевидны. Они отличаются тем, что в первой схеме в формировании автоматически регулируемого порогового уровня участвуют лишь те преобразованные выборочные значения, которые соответствуют меньшим частности, не содержащие сигнала), а во второй — все выборочные значения.

Как видно из предыдущего, оба способа формирования порогового уровня с точки зрения характеристик обнаружения эквивалентны.

Все приведенные в этом параграфе соотношения, решающие правила и структурные схемы непосредственно применимы и для обнаружения ВЧ случайных сигналов, в том числе определяемых правилами (3.120) — (3.123), если под понимать действительную выборку двух квадратурных составляющих входного сигнала. Аналогичные соотношения, схемы и правила нетрудно записать и через входную выборку в комплексной форме. При этом транспонирование заменяется на сопряжение по Эрмиту, на что соответствует замене в структурных схемах квадраторов на квадратичные детекторы.