3.1.3. Критерий минимума порогового отношения сигнал-шум

Иногда оптимизация обнаружения для конкретной области выбираемой заранее, оказывается нецелесообразной. В таких случаях множество 0! может не фиксироваться, а оптимизация — основываться на отыскании такого решающего правила при котором заданная вероятность правильного обнаружения гарантируется в области (т. е. ), находящейся в определенном смысле на минимальном расстоянии от области гипотезы .

При этом может быть задана некоторая система «вложенных» друг в друга областей монотонно и взаимно-однозначно связанных с единственным скалярным параметром характеризующим расстояние от до . В частности, система областей может быть задана неравенствами

где — расстояние от до любой точки пространства неизвестных параметров, задаваемое на основании конкретных условий обнаружения и таким образом, чтобы определялось условием Некоторые примеры приведены в [119].

Полагая функционал качества решающего правила в виде

где при всех решающее правило будем считать оптимальным по критерию минимума расстояния области с гарантируемой вероятностью правильного обнаружения от области гипотезы, если

Пусть для минимальное расстояние обеспечиваемое, равно и ему соответствует ; тогда оптимально и по критерию (3.4) для причем Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что в общем случае рассматриваемые критерии оптимальности не эквивалентны. По существу общим для них является лишь то, что множеству критериев (3.4) для различных и множеству критериев (3.13) с различной соответствует одно и то же множество оптимальных решающих правил.

Во многих задачах обнаружения на фоне помех с неизвестными параметрами роль расстояния может играть скалярный параметр задачи имеющий смысл отношения мощностей сигнала и аддитивного шума. В этом случае соответствует и критерий (3.13) в качестве предусматривает минимум порогового отношения сигнал-шум гарантирующего заданное значение в области вида Таким образом, согласно оптимально по критерию минимума порогового отношения сигнал-шум при

Пусть . Тогда из (3.12) имеем , где

Для того чтобы исключить ситуации, в которых множество , т. е. является пустым, целесообразно множество рассматриваемых решающих правил ограничить лишь такими правилами, для которых являются монотонно возрастающими по у при любых чем конечны. При этих условиях критерий (3.14) может быть заменен эквивалентным ему критерием

где

Действительно, это следует из равенства

Критерий (3.16) имеет простой физический смысл и в явном виде показывает, каким образом в кем учитывается наличие в задаче априори неизвестных мешающих параметров. Как указывалось выше, этот критерий приводит к тому же оптимальному решающему правилу, что и критерий (3.4), если . Здесь всюду берутся по всем .