Глава 6. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОБНАРУЖИТЕЛИ СИГНАЛОВ ПРИ КОНЕЧНОМ ЧИСЛЕ НАБЛЮДЕНИЙ

6.1. Основные виды непараметрических тестов

Для современных радиотехнических систем различного назначения характерна работа в сложной помеховой обстановке. При проектировании систем связи, радиолокации и других все чаще приходится сталкиваться с задачей обнаружения сигналов в шумах, когда их статистические характеристики заранее неизвестны либо подвержены изменениям.

В настоящее время обнаружение сигнала общепринято трактовать как статистическую задачу с априорной неопределенностью, выражающейся в том, что ряд параметров, а иногда и вид функции распределения шумов и смеси сигнала с шумом неточно известны и могут изменяться в процессе наблюдения. В этих условиях классические

алгоритмы обнаружения, «специализированные», как правило, на нормальный шум, могут оказаться неэффективными. При отклонении закона распределения шума от нормального такие обнаружители утрачивают свою оптимальность, а при изменении только параметра нормального шума (дисперсии), оставаясь структурно оптимальными, не обеспечивают расчетных показателей обнаружения.

Один из путей преодоления априорной неопределенности состоит в разработке адаптивных алгоритмов, структура и параметры которых могут изменяться в соответствии с результатами анализа входных данных. В тех случаях, когда неизвестным или изменяющимся является сравнительно легко контролируемый параметр сигнала или шума, удается преодолеть априорную неопределенность в результате подстройки (адаптации) параметров обнаружителя в ходе наблюдения. Именно этот путь используется в адаптивном последовательном обнаружителе (см. гл. 4). Задача адаптации обнаружителя существенно усложняется, когда неизвестны несколько параметров или вид функций распределения . Поэтому такие алгоритмы оказываются весьма сложными и нереализуемыми для работы в реальном масштабе времени.

Другой путь преодоления априорной неопределенности состоит в разработке алгоритмов, нечувствительных или слабо чувствительных к статистическим характеристикам сигналов и шумов. Когда неизвестны параметры распределений шума и смеси сигнала с шумом, этот путь приводит к подобным и инвариантным алгоритмам (см. гл. 2), когда неизвестны виды распределений — к непараметрическим алгоритмам.

В связи с этим в последнее время в задачах обнаружения сигналов все чаще привлекают внимание непараметрические методы. Статистический метод называется непараметрическим, если его применение не предполагает знания функционального вида распределений. В теории обнаружения обнаружитель принято называть непараметрическим, если при отсутствии сигнала (наличии только шума) распределение вероятностей его решающей статистики не зависит от распределения шума [1, 232]. Это значит, что такой обнаружитель обеспечивает постоянную вероятность ложного обнаружения независимо от статистических характеристик шума. Качество обнаружителя определяется двумя показателями — вероятностью ложного обнаружения (ложной тревоги) а и вероятностью пропуска полезного сигнала Р (или вероятностью правильного обнаружения . Поэтому задача стабилизации на заданном уровне хотя бы одного из этих показателей (например, а) при изменении помеховой обстановки является весьма важной.

Анализ качества известных непараметрических тестов для случая нормального шума показывает, что некоторые из них (например, ранговые) незначительно уступают по эффективности оптимальным. В то же время при изменении распределения шума ранговые алгоритмы в общем случае более эффективны, чем классические, которые в новых условиях становятся уже неоптимальными [245, 256]. Это полезное свойство непараметрических тестов сохранять в определенных пределах

свои характеристики при изменении помеховой обстановки принято называть устойчивостью [1].

Применение непараметрической обработки поэтому особенно целесообразно как с точки зрения стабилизации вероятности ложного обнаружения, так и с точки зрения эффективности (вероятности) обнаружения в том случае, когда распределение шума отлично от нормального. Отличие это может иметь место, например, при нормальном шуме, подвергшемся нелинейному преобразованию в логарифмическом приемнике; при радиопротиводействии, когда умышленные помехи могут иметь «дефекты», связанные с отклонением их распределений от нормального [206]; при наличии хаотических импульсных помех; при отражениях сигнала от водной поверхности [235], от метеообразований, от земной поверхности [236, 237]; при отражении очень коротких импульсных сигналов от облака дипольных отражателей [235]; в КВ диапазоне из-за влияния турбулентности атмосферы; для сигналов оптического диапазона [96], акустических сигналов и т. д. (см. гл. 5). Так, при отражении радиосигнала от земной поверхности распределение его огибающей хорошо аппроксимируется логарифмически-нормальным законом и законом Вейбулла. Известна модель распределения Накагами (М-распределение) при отражении от наземных объектов. Распределение сигнала, отраженного от водной поверхности, описывается логарифмически-нормальным и составным нормальным законами. Отражение от метеорологических образований (дождя, снега), от ионосферы и прохождение сигналов КВ диапазона через турбулентную атмосферу приводят к логарифмически-нормальному распределению амплитуд.

Помимо того, что реально существуют шумы, распределение которых отлично от нормального, в ряде случаев приходится отказываться от гауссовской модели для шумов, которые традиционно считаются нормальными. Дело в том, что точность аппроксимации нормальным законом реального распределения оказывается на практике достаточно высокой для средней части кривой распределения (плотности вероятности), на «хвостах» же кривой точность быстро убывает по мере удаления от ее средней части.

Специфика некоторых систем обнаружения (например, радиолокационных) такова, что вероятность ложного обнаружения выражается весьма малой величиной не характерной для вероятностей ошибок, с которыми обычно имеет дело математическая статистика. Столь малым вероятностям соответствуют «хвосты» распределения шума, где его нормальная аппроксимация неудовлетворительна.

Применение непараметрической обработки можно считать целесообразным также при нормальном шуме неизвестной интенсивности. Так, в радиолокационных системах изменение мощности шума, коэффициента усиления приемника или порогового уровня на 10—20% приводит к изменению а на несколько порядков [233]. Поддержание стабильности работы приемника или измерение мощности шума поэтому должно производиться с точностью, которую трудно реализовать на практике.

Синтез оптимальных непараметрических алгоритмов обнаружения наталкивается на практически непреодолимые математические трудности. Решить задачу синтеза оптимальных непараметрических правил удается лишь в асимптотическом случае, когда число наблюдений равно бесконечности , что соответствует обнаружению бесконечно слабого сигнала. Поэтому известные непараметрические тесты, для конечных получены эвристическим путем.

Теория АО алгоритмов обнаружения, в том числе АО непараметрических, наиболее полно представлена в монографии Б. Р. Левина [1]. Результаты структурного синтеза и анализа представлены также алгоритмами, основанными на статистиках Вилкоксона, Ван-дер-Вардена, знаковых и др., и их характеристиками в асимптотике. К приведенному в [1] обзору литературы остается добавить недавно вышедшую библиографию по непараметрическому обнаружению [234].

Некоторые вопросы синтеза и анализа АО непараметрических обнаружителей рассматриваются также в гл. 7 настоящей монографии.

Значение имеющихся результатов синтеза и анализа АО непараметрических обнаружителей для нужд практики ограничено. Во-первых, для выборок конечного объема, который имеет место в практических задачах, поведение этих обнаружителей неизвестно. Во-вторых, полученные результаты относятся к случаю, когда альтернатива отличается от гипотезы наличием регрессии в сдвиге, т. е. имеет место альтернатива сдвига — постоянная. В общем случае альтернатива отличается формой распределения, а не только сдвигом. В частности, для некогерентного обнаружения характерны альтернативы вида и др. Кроме того, реализация вычислительных процедур АО алгоритмов весьма сложна, в то время как в ряде случаев можно воспользоваться значительно более простыми алгоритмами, полученными эвристически, которые по эффективности близки к оптимальным.

Вопросы синтеза и анализа непараметрических процедур последовательного типа, адаптивных непараметрических последовательных алгоритмов и обнаружителей, обладающих свойством непараметричности в коррелированном шуме при конечном числе наблюдений, в периодической литературе освещены весьма слабо и не нашли отражения в монографической литературе.

Настоящая глава посвящена теории и принципам построения непараметрических (в основном ранговых) обнаружителей (РО) для конечного числа наблюдений и альтернативы общего вида Рассматриваются непараметрические РО с фиксированным числом наблюдений (Неймана—Пирсона), РО последовательного типа, адаптивные последовательные РО и адаптивные РО, обладающие свойством непараметричности в коррелированной помехе.

Для сравнения двух обнаружителей работающих в одинаковых условиях, пользуются коэффициентом асимптотической относительной эффективности равным пределу отношения наименьших чисел наблюдений необходимых соответственно и для обеспечения заданных вероятностей D и а при сигнале,

стремящемся к нулю. Ясно, что если оптимальный, то однако при изменении условий может оказаться более устойчивым, чем Использование коэффициента АОЭ для оценки эффективности теста носит приблизительный характер в том смысле, что высокое значение коэффициента позволяет лишь предположить высокую эффективность обнаружения при конечном числе испытаний, но не более. Таким образом, использование критерия АОЭ оправдано лишь на предварительном этапе выбора типа обнаружителя. Окончательное суждение об его эффективности можно вынести лишь на основе расчета и анализа его рабочих характеристик.

С позиции теории проверки статистических гипотез задача обнаружения формулируется как проверка гипотезы том, что наблюдаемая величина является только шумом с распределением против альтернативной гипотезы о том, что эта величина представляет смесь сигнала с шумом с распределением

Предположим, что имеет место альтернатива самого общего вида . В этом случае при известном распределении для проверки гипотезы целесообразно воспользоваться непараметрическими тестами согласия Колмогорова, Реньи, Мизеса и других [1, 171]. Если вид неизвестен, то можно для проверки гипотезы воспользоваться двухвыборочными вариантами этих правил, в частности тестом Смирнова [1, 171]. Эти тесты состоятельны при любом виде однако требуют большого числа наблюдений и сложны в вычислительном отношении.

Для более «узко специализированных» альтернатив, например альтернатив вида характерных для задач обнаружения радиосигналов, проще и зачастую эффективнее знаковые и ранговые алгоритмы.

Если при гипотезе независимые наблюдения являются выборкой шума с нулевой медианой, а при наличии сигнала медиана распределения больше нуля, то возможен знаковый тест, основанный на учете полярностей наблюдений, статистика которого

для принятия решения испытывается на порог С.

Когда медиана распределения неизвестна, приходим к двухвыборочному знаковому тесту, основанному на сравнении знаков разностей пар наблюдений исследуемой выборки и чисто шумовой

Нетрудно видеть, что число единиц в суммах (6.1) и (6.2) эквивалентно числу положительных исходов в схеме испытаний Бернулли, поэтому вероятность превышения порога С равна

где — вероятность события число сочетаний из по .

Для гипотезы вероятность поэтому вероятность ложного отклонения гипотезы (ложного обнаружения)

не зависит от что и доказывает непараметричность теста.

Вероятность принятия альтернативы, когда она справедлива (вероятность обнаружения), естественно, зависит от Соотношение для определяет рабочую характеристику теста — зависимость вероятности обнаружения D от параметра , характеризующего меру различия между гипотезой и альтернативой.

АОЭ знакового теста по сравнению с эффективностью линейного накопления при обнаружении постоянного сигнала в нормальном шуме составляет 64%.

Более мощными оказываются ранговые алгоритмы, которые учитывают степень отклонения элементов выборки от некоторого уровня или элементов шумовой выборки у. Напомним, что рангом элемента выборки называется порядковый номер этого элемента в вариационном ряду из элементов х (или х и у), расположенных в порядке возрастания от меньшего к большему. Например, в вариационном ряду значения рангов отсчетов равны 3, 5, 6, ... Полагаем, что наличие в выборках равных элементов имеет нулевую вероятность.

Поскольку при справедливости гипотезы для однородной независимой выборки значение рангов какого-либо элемента равновероятно (отсчеты х и у равномерно перемешаны в вариационном ряду), каково бы ни было распределение тест, основанный на любой ранговой статистике (функции от рангового вектора оказывается непараметрическим.

Когда справедлива альтернатива в частности альтернатива сдвига , отсчеты располагаются преимущественно в правой части вариационного ряда, т. е. значения их рангов будут статистически большими, чем при гипотезе. Эти различия в значениях рангов служат мерой, характеризующей степень различия (контраст) между опорной и исследуемой выборками.

Укажем на одно замечательное свойство ранговых статистик — инвариантность их относительно нелинейных монотонных преобразований выборочных значений. Действительно, любое преобразование указанного типа не нарушает порядок расположения отсчетов в вариационном

ряду, а значит, их ранги. Поэтому мощность теста (D) и его значимость (а) остаются такими же, как и до преобразования.

Применение ранговых процедур приводит к потере части информации, однако при увеличении объема наблюдений эти потери уменьшаются и некоторые ранговые алгоритмы оказываются столь же эффективными, что и оптимальные, т. е. асимптотически оптимальными.

Ранговый тест Вилкоксона использует статистику, основанную на сумме рангов, и может применяться для обнаружения постоянного сигнала на фоне шума с нулевым средним и симметричным распределением. Сигнал считается обнаруженным, если

где — значение ранга положительного отсчета в вариационном ряду, в котором отсчеты упорядочены по абсолютной величине; С — некоторый пороговый уровень.

Если функция неизвестна, а известно лишь, что , то приходим к двухвыборочному алгоритму Вилкоксона [107,171]

где — ранг отсчета в вариационном ряду, составленном из независимых отсчетов опорной (шумовой) выборки и независимых отсчетов исследуемой Здесь хотя распределение шума неизвестно, но известно, что отсчеты у являются шумовыми, поэтому выборка является обучающей (опорной), а смысл теста сводится к нахождению степени различия — контраста между выборками.

При нормальном шуме АОЭ обнаружителя (6.3) относительно оптимального составляет 95,5% . Это позволяет предположить и высокую эффективность правила для выборок конечного объема.

Известны и другие ранговые тесты [107], однако все они, являясь «специализированными» по отношению к виду альтернатив, более сложны в вычислительном отношении, чем тест Вилкоксона, который хорошо работает при альтернативе более общего вида