7.4. Непараметрические обнаружители на перемешанных статистиках с линейным преобразованием входных данных

Непосредственная реализация в радиотехнических системах многих из известных непараметрических алгоритмов, основанных на знаках и рангах наблюдаемых данных, наталкивается на серьезные технические трудности, связанные с необходимостью запоминать и обрабатывать выборки большого объема за малые отрезки времени.

В этом разделе рассмотрены ранговые и знаково-ранговые алгоритмы обнаружения на перемешанных статистиках, использующие линейные преобразования наблюдаемых данных для формирования промежуточных статистик существенно меньшей размерности, чем размерность исходной выборкой из наблюдаемого процесса. Применение таких алгоритмов значительно облегчает практическую реализацию непараметрических обнаружителей благодаря сокращению необходимого для принятия решения числа операций, снижению требований к быстродействию элементов и уменьшению объема аппаратуры устройств обработки сигналов [282].

Вновь вернемся к задаче обнаружения сигнала на основе наблюдения аддитивной смеси (7.1) сигнала и шума. Предположим, что интервал наблюдения может быть разбит на равных отрезков времени , в каждом из которых функции, описывающие сигнал, отличаются только постоянными множителями, т. е.

а шум на всем интервале наблюдения является стационарным и допускает представление (7.2). Отсчеты помехи в разных интервалах независимы.

Функцию описывающую форму сигнала в каждом из интервалов наблюдения будем называть элементарным сигналом, а величины амплитудными множителями.

Рассмотрим последовательность задач проверки гипотезы Но против альтернативы на основе дискретных выборок из наблюдаемого процесса, имеющих соответственно характеру принимаемого сигнала блочную структуру вида

с элементами

где i — порядковый номер выборки; — число блоков выборки, номер блока, — число элементов выборки в блоке, номер элемента в блоке значения элементарного сигнала, одинаковые для всех блоков; амплитудные множители, постоянные для всех значений элементарного сигнала внутри каждого блока; статистически независимые значения шума. Как и ранее, для сокращения записи будем опускать индексы

Пусть из исходной выборки (7.76) в результате линейного весового суммирования элементов в блоках образованы промежуточные статистики

Используя формулу (7.77), преобразуем выражение (7.78) к виду

где энергия элементарного сигнала; постоянная составляющая элементарного сигнала.

Промежуточные статистики (7.79) можно рассматривать как аддитивную смесь сигнала и шума .

Полагая, что входной сигнал удовлетворяет условиям типа (7.6), (7.7), можно показать, что сигнал с элементами также удовлетворяет аналогичным условиям, которые при сводятся к ограничениям, наложенным на амплитудные множители:

Пусть действующая на входе помеха имеет плотность Тогда случайные величины также имеют плотность с конечным количеством информации Фишера нулевым средним и дисперсией . Соответствующая нормированная плотность содержит количество информации Фишера и принадлежит классу

Как следует из результатов § 7.1, асимптотически равномерное наиболее мощное решающее правило для задачи обнаружения сигнала

основанное на промежуточных статистиках имеет вид

где

характеристика нелинейного преобразователя, определяемая по (7.9) для плотности ранг промежуточной статистики V) в последовательности — порог, получаемый из (7.13).

Если плотность распределения вероятностей с конечным количеством информации Фишера средним значением и дисперсией плотность с нулевым средним, единичной дисперсией и количеством информации Фишера относящаяся к тому же типу, что и , то соответствующие этим плотностям -функции связаны соотношением [107]

а значения количества информации Фишера — уравнением

Учитывая (7.83) и (7.84), можно преобразовать выражения (7.81) и (7.82) к виду

и представить алгоритм (7.80) в окончательной форме

Характеристики обнаружения рангового алгоритма (7.85) на перемешанных статистиках имеют вид

где обобщенное отношение сигнал-шум составляет

Если ширина спектра шума существенно превосходит ширину спектра элементарного сигнала , т. е.

то элементы выборки в пределах каждого блока могут формироваться через отрезки времени, весьма малые по сравнению с длительностью элементарного сигнала. В этих условиях хорошим приближением для суммы (7.78) является корреляционный интеграл

где — границы интервала, в котором действует элементарный сигнал, . Интеграл (7.87) равен пределу суммы (7.78), если при имеют место

Для определения значений интеграла (7.87) могут быть использованы широко известные корреляторы или согласованные фильтры.

Рис. 7.5. Структурная схема РО на перемешанных статистиках с линейным преобразованием входных данных

Один из возможных вариантов структурной схемы обнаружителя, реализующего алгоритм (7.85) с помощью согласованного фильтра, представлен на рис. 7.5.

Если условие (7.86) выполняется, то в силу центральной предельной теоремы происходит нормализация промежуточных статистик, представляющих собой суммы (7.78) большого числа независимых случайных величин или корреляционные интегралы (7.87), являющиеся пределами этих сумм при

При нормализации промежуточных статистик максимум вероятности обнаружения достигается при функции нелинейности независимо от типа плотности шума на входе обнаружителя.

Сравним далее алгоритм (7.85) с асимптотически оптимальным ранговым алгоритмом (7.15), который с учетом принятой формы сигнала может быть переписан в виде

где — функция нелинейности, соответствующая плотности действующего шума; элемента в выборке

Очевидно, что для реализации алгоритма (7.88) требуется запоминание элементов выборки, в то время как для реализации алгоритма

(7.85) - только , т. е. в раз меньше. Число элементарных операций при вычислении рангов пропорционально квадрату числа элементов; следовательно, применение линейной обработки для снижения размерности выборки может дать существенное снижение аппаратурных затрат, поскольку обычно а определение значений промежуточных статистик не требует запоминания всех элементов выборки и может быть выполнено с помощью согласованных фильтров.

Асимптотическая эффективность обнаружителя (7.85) на перемешанных статистиках определяется соотношением

Если действующая помеха имеет нормальную плотность и постоянная составляющая амплитудных множителей равна нулю, то обнаружитель (7.85) на перемешанных статистиках является асимптотически оптимальным, что следует из формулы (7.89) при Снижение асимптотической эффективности обнаружителя (7.85) имеет место при любом отклонении плотности действующей помехи от нормальной (при этом и наличии постоянной составляющей у совокупности амплитудных множителей; в последнем случае степень снижения эффективности зависит также от постоянной составляющей элементарного сигнала.

Если шум не содержит неизвестной постоянной составляющей, то асимптотическая эффективность обнаружителя на перемешанных статистиках составит что следует из (7.89) и (7.61).

Можно избежать снижения эффективности обнаружителя на перемешанных статистиках при наличии постоянной составляющей у амплитудных множителей, используя для обработки промежуточных статистик знаково-ранговые алгоритмы вместо ранговых. Для этого достаточно, чтобы сигнал удовлетворял условиям типа (7.24) и (7.25), а шум имел симметричную относительно нуля плотность и постоянную составляющую

При выполнении указанных условий асимптотически оптимальный для промежуточных статистик знаково-ранговый алгоритм имеет вид

где

— ранг промежуточной статистики в последовательности .

Характеристики обнаружения алгоритма (7.90) имеют вид

а асимптотическая эффективность составляет в общем случае при нормализации промежуточных статистик.

Если функция нелинейного преобразователя не соответствует плотности распределения промежуточных статистик, что возникающие при этом дополнительные потери эффективности можно определить, используя методы и результаты, изложенные в п. 7.3.1.

С помощью результатов § 7.1-7.3 можно установить структуру обнаружителей квазидетерминированного сигнала на перемешанных статистиках и вычислить их асимптотическую эффективность, которая не отличается от значений, полученных для обнаружителей детерминированного сигнала.