3.2. Оптимальное обнаружение сигналов на фоне шума с неизвестными параметрами

3.2.1. Синтез минимаксных решающих правил

Применение к рассматриваемому случаю параметрических задач статистического решения с учетом дополнительных условий (3.5), (3.6) и известных результатов Вальда [106] приводит к следующим утверждениям:

1. Оптимальные минимаксные (максиминные) решающие правила, отвечающие критерию (3.4), существуют.

2. Если при заданном ограничении на вероятность ложной тревоги существует наименее благоприятное распределение вероятности то минимаксное решающее правило является байесовским относительно в классе правил . При этом

где — минимаксная вероятность правильного обнаружения сигнала.

Как видно из (3.45) и (3.46), наименее благоприятное распределение минимизирует наибольшую среднюю байесовскую вероятность правильного обнаружения, являющуюся функционалом от Р (Ф). В связи с этим минимаксная оптимизация в терминах средней вероятности правильного обнаружения в классе всевозможных распределений случайных параметров в области сводится к оптимизации в терминах вероятности правильного обнаружения в соответствии с критериями (3.4) при условиях (3.5) и (3.6).

Приведенные утверждения в общем случае справедливы лишь для рандомизированных решающих правил [87, 88, 106]. Однако в параметрических задачах с абсолютно непрерывными распределениями входной выборки минимаксные правила обычно являются детерминированными. В других случаях рандомизации практически удается избежать при небольшом изменении условий задачи относительно допустимых вероятностей ошибочных решений.

Утверждение 1 и (3.45) вытекают из теорем 3.7 и 3.4 [106), утверждения 2 и (3.46) — теоремы 3.9 той же работы. В общем случае наименее

благоприятного распределения вероятности может не существовать и тогда теорема 3.8 из [106] гарантирует справедливость утверждения 2 в пределе для некоторой последовательности априорных распределений вероятности, а байесовское решающее правило понимается в так называемом широком смысле относительно упомянутой последовательности. При этом вместо (3.46) имеем

К счастью, в этих случаях роль наименее благоприятного распределения обычно выполняет некоторая инвариантная мера на которую с точностью до постоянного множителя можно рассматривать, как предел последовательности Эту меру нетрудно найти, используя инвариантные свойства задачи (см. ниже). О возможности расширения понятий наименее благоприятного распределения в указанном смысле см. также [87].

Для существования наименее благоприятного распределения вероятности достаточно выполнения некоторых дополнительных условий, налагаемых на условную плотность распределения входной выборки и множество сформулированных в [106] (теорема 3.14. а также допущения 5.1-5.3). В частности, для этого достаточно, чтобы плотность была непрерывной по , а замкнутым ограниченным подмножеством конечномерного декартового пространства (см. теорему 5.11 из [106]).

Заметим, что условия (3.5) и (3.6) существенно влияют на результат оптимизации, причем получаемые на их основе решающие правила оказываются отличными от оптимальных правил, соответствующих случаю известных параметров помехи. С другой стороны, в ряде важных для практики случаев оптимальные решающие правила при условиях и (3.6) оказываются эквивалентными.

Рассмотрим сначала задачу синтеза минимаксных правил при условии постоянства вероятности ложной тревоги (3.5) [119]. Поскольку искомые минимаксные правила, отвечающие критерию (3.4), а следовательно (3.13) и (3.14), совпадают с байесовскими правилами для некоторого наименее благоприятного распределения вероятности в классе правил с заданным ограничением на вероятность ложной тревоги, задача их отыскания сводится к определению соответствующих байесовских правил для заданных априорных распределений неизвестных параметров и отысканию при котором удовлетворяется критерий минимакса.

Из теории так называемых подобных тестов (критериев) для проверки сложных статистических гипотез [87, 88] следует, что первая часть этой задачи — отыскание байесовского правила при условии имеет решение, легко находимое, по крайней мере, когда семейство распределений достаточной статистики в отсутствие

полезного сигнала является полным (ограниченно полным). В этом случае искомое минимаксное правило с необходимостью имеет так называемую неймановскую структуру относительно и без учета рандомизации может быть представлено в виде

где функция статистики t, однозначно определяемая из уравнения при всех t; — плотность наименее благоприятного распределения вероятности параметров в области удовлетворяющая необходимому и достаточному условию плотность распределения вероятности помехи; произвольное фиксированное значение совокупности параметров помехи; векторная статистика, достаточная для параметров X, семейства условная вероятность ложной тревоги для правила (3.47) при условии фиксированного вектора

Здесь и в дальнейшем для простоты предполагается, что вероятность равенства в (3.47) равна нулю. В противном случае согласно фундаментальной лемме Неймана — Пирсона правило (3.47) дополняется рандомизацией решения в точках равенства случайным принятием решения о присутствии сигнала с некоторой вероятностью, определяемой из того же условия

Во всех рассматриваемых ниже задачах обнаружения сигналов с непрерывными указанное предположение соблюдается и минимаксные решающие правила являются детерминированными и единственными (см. доказательство фундаментальной леммы [87]).

Пусть векторы в евклидовых пространствах соответственно.

Для простого обоснования (3.47) рассмотрим важный для дальнейшего случай, когда на -мерном евклидовом пространстве выборок существует функция такая, что преобразование взаимно-однозначно в и что существует совместная плотность величин t, и, причем

где якобиан по отношению к

Тогда при фиксированном t условная плотность и равна

в предположении, что знаменатель отличен от нуля. На каждой поверхности критическая область условно байесовского относительно теста неймановской структуры уровня а имеет вид

откуда с учетом (3.48) и (3.49) получаем (3.47).

Здесь и в дальнейшем минимаксное решающее правило при условии по аналогии с терминологией, принятой в математической статистике, называется подобным минимаксным правилом,

Интегрирование в (3.47) и в последующих вариантах решающих правил производится по области параметров причем допускаются плотности , сосредоточенные в подпространстве меньшей размерности, чем и, в частности, в точках описываемые дельта-функциями.

Случай, когда полное семейство, практически не является исключительным и, в частности, соответствует широкому классу распределений помех, описываемых экспоненциальными семействами вида

При этом предполагается соблюдение некоторых условий, налагаемых на параметры выполняемых, например, для функционально несвязанных параметров [87, 88]. Здесь нормирующий множитель, зависящий от к, множитель, зависящий от выборки но не зависящий от .

В случаях, часто встречающихся в задачах обнаружения, когда зависит от исключительно через правило (3.47) может быть записано в более простом виде

где находится по-прежнему из условия

В некоторых случаях удобным может оказаться также следующее правило, эквивалентное (3.47):

где произвольное распределение параметров помехи в области . Иногда подбором можно добиться независимости левой части (3.53) от t и тогда

Часто решающие правила (3.47), (3.52) и (3.53) допускают значительное дополнительное упрощение путем применения к соответствующим неравенствам простейших функциональных и алгебраических преобразований, включая логарифмические преобразования, а также переносы в правую часть и включение в всех слагаемых и множителей, не зависящих от или зависящих от только через Кроме того, если и при каждом фиксированном t плотность распределения достаточных относительно семейства статистик имеет монотонное отношение правдоподобия относительно и, то в соответствии со следствием 2 гл. 3 из 1871 существует равномерно наиболее мощное подобное решающее правило вида где определяется из условия при всех

Следует отметить, что если не является ограниченно полным семейством и выполняется условие оптимальное правило также представимо в виде (3.47), но в этих случаях определение оптимального правила в общем случае уже не связано с условием

и наталкивается на значительные трудности математического характера.

Из (3.47) и (3.53) непосредственно вытекает обобщенная структура оптимального максиминного обнаружителя, приведенная на рис. 3.1.

Таким образом, при весьма общих предположениях максиминный обнаружитель можно рассматривать как оптимальный обнаружитель Неймана — Пирсона для некоторого вспомогательного распределения параметров, вычисляющий коэффициент правдоподобия который сравнивается с порогом, автоматически регулируемым в зависимости от реализации t достаточной статистики.

Рис. 3.1. Обобщенная структурная схема максиминного обнаружителя

Перейдем теперь к рассмотрению задачи синтеза минимаксных правил с ограниченной вероятностью ложной тревоги, т. е. при условии . В этом случае искомое правило без учета рандомизации имеет вид

где пара плотностей наименее благоприятных распределений для неизвестных параметров соответственно смеси сигнала и помехи и одной помехи, фиксированный порог, определяемый заданным уровнем вероятности ложной тревоги.

Справедливость (3.54) непосредственно вытекает из применения к рассматриваемой задаче обнаружения сигналов некоторых результатов теории проверки сложных статистических гипотез — теоремы 7 и следствия 5 гл. 3, а также теоремы 1 и следствия 1 гл. 8 [87]. При этом и С обязаны удовлетворять следующим двум необходимым и достаточным условиям:

где средние вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги для правила (3.54), когда в действительности являются плотностями распределения случайных параметров . Другим вытекающим из (3.55) необходимым признаком наименее благоприятного распределения является постоянство и равенство их в тех областях изменения , в которых отличны от нуля. Необходимость (3.55) следует, в частности, из теоремы 3.10 [106].

Решающее правило (3.54) можно рассматривать так же, как байесовское относительно в классе правил, удовлетворяющих условию

Во многих практически интересных случаях оказывается, что минимаксные правила при совпадают. Из сопоставления

(3.53) и (3.54) вытекает следующий признак такой эквивалентности: если обнаружитель, оптимизированный при в виде (3.53), при некоторой имеет фиксированную, не зависящую от t правую часть, то он сохраняет свои оптимальные максиминные свойства и при . С другой стороны, если минимаксное правило для фактически сохраняет вероятность ложной тревоги неизменной, то оно оптимально и для условия Следовательно, подобное минимаксное правило не всегда может быть представлено в виде (3.54), в то время как (3.53) является общим представлением минимаксных правил при любых ограничениях на вероятность ложной тревоги.

В возможности преобразования (3.54), например, к виду (3.53) при произвольной нетрудно убедиться также, если принять во внимание, что отношение

при всюду положительном знаменателе зависит от только через t, причем заключение следует отметить, что в частном случае простой гипотезы, но сложной альтернативы (когда неизвестные параметры имеются лишь у сигнала или смеси сигнала и помехи) оптимальное решающее правило (3.54) приводится к виду

где — плотность наименее благоприятного распределения неизвестных параметров смеси сигнала и помехи (сигнала).

Наконец, если сигнал не содержит неизвестных параметров или распределение последних известно априори, (3.54) сводится к обычному правилу Неймана — Пирсона.