6.3. Ранговое последовательное обнаружение

Задача сочетания ранговой обработки с последовательным правилом принятия решения представляет интерес с точки зрения известных преимуществ последовательного анализа и непараметрических свойств ранговой статистики.

В соответствии с теорией А. Вальда [149] оптимальный в пространстве ранговых статистик обнаружитель должен вычислять на каждом шаге наблюдений отношение правдоподобия рангового вектора независимых наблюдений

и сравнивать его с верхним и нижним порогами. Есди , выносится решение о наличии сигнала если — об его отсутствии если решение откладывается до следующего шага. Оптимальность здесь понимается в смысле минимума среднего числа наблюдений , необходимых для принятия решения с заданными вероятностями ошибок а и

Специфика ранговой обработки состоит в том, что при справедливости гипотезы распределение ранга не зависит от вида и параметров распределения шума, т. е. функция правдоподобия инвариантна по отношению к шуму. Это эквивалентно тому, что при переходе от выборочного пространства в ранговое происходит переход от сложной гипотезы к простой. Следовательно, независимо от свойств шума при отсутствии полезного сигнала (воздействии только шума) значения рангов статистически одинаковы, а поэтому и результат вычисления отношения правдоподобия не зависит от шума. Это приводит к тому, что как среднее время, затрачиваемое на принятие правильного решения от отсутствия сигнала (принятие гипотезы , когда она действительно имеет место), так и реализуемая вероятность ложного обнаружения остаются постоянными независимо от свойств шума.

Таким образом, свойство непараметричности применительно к последовательному РО интерпретируется как постоянство вероятности ложной тревоги и постоянство (в среднем) времени принятия решения в каналах, занятых только шумом. Если число таких каналов намного больше числа каналов, занятых сигналом, то можно считать, что стабилизируется время принятия решения по всем каналам независимо от помеховой обстановки.

Естественно, что отсутствие полной информации относительно действующих распределений создает трудности в правильном вычислении отношения правдоподобия — определении оптимального последовательного правила. При использовании непараметрических тестов, менее чувствительных к статистическим характеристикам входных данных, можно в той или иной степени пренебречь неточностями в вычислении отношения правдоподобия, т. е. построить подоптимальные непараметрические процедуры. Здесь имеется в виду не только устойчивость непараметрических тестов, но и снижение степени неопределенности в вычислении отношения правдоподобия (т. е. снижение размерности задачи) вследствие редукции сложной гипотезы к простой при использовании непараметрической обработки.

Иллюстрацией к сказанному является, например, тот факт, что применение последовательного знакового теста при обнаружении положительного (или отрицательного) сигнала основано лишь на предположении о симметрии плотности распределения шума [250]. Вычисление отношения правдоподобия в этом случае возможно с точностью до параметра независимо от вида плотности распределения шума, лишь бы она была симметричной.

Последовательное обнаружение сигналов в информационных системах целесообразно тогда, когда имеется возможность регулирования числа наблюдений, энергии и других показателей в зависимости от текущих результатов наблюдений. Так, в системе связи с переспросом при применении последовательного правила принятия решения может быть уменьшено (в среднем) число повторных трансляций сигнала и за счет этого увеличена пропускная способность. В радиолокационной системе с электронным сканированием возможно автоматическое регулирование числа зондирований (числа импульсов) по различным направлениям пространства обзора (см. гл. 4), что приводит в конечном итоге к снижению времени обзора.

Рассмотрим возможные способы построения последовательных РО.

Поскольку в большинстве случаев шум следует считать нормальным, можно вычисление l производить именно в предположении нормальности шума. При отклонении распределёния от предполагаемого качество обнаружения (D и ) такого «настроенного» на нормальный шум обнаружителя изменится в силу устойчивости ранговой процедуры незначительно [256], а вероятность а вообще не изменится.

Используя (6.10), (6.22), (6.23), для (6.28) имеем [252]:

Показатели качества обнаружения — оперативная характеристика L (а) и среднее число наблюдений п. Оперативная характеристика L (а) есть вероятность принятия гипотезы при наличии сигнала, она определяется соотношением [149]

где корень трансцендентного уравнения

— расчетное (ожидаемое) отношение сигнал-шум.

Среднее число наблюдений определяется как [149]

Рис. 6.5. Зависимость вероятности правильного обнаружения D и среднего числа наблюдений от отношения сигнал-шум для РО

На рис. 6.5 в качестве примеров приведены зависимости , рассчитанные по приведенным формулам для нефлуктуирующего сигнала. Сравнение характеристик обнаружителя, полученных расчетным путем и моделированием, с характеристиками оптимального обнаружителя, накапливающего отношение правдоподобия отсчетов сигнала (см. гл. 4), показало, что в рэлеевском шуме РО проигрывает оптимальному в среднем числе наблюдений около 15% при расчетном отношении сигнал-шум При справедливости гипотезы проигрыш составляет 8—10%. Вероятности а и D оптимального обнаружителя поддерживаются на расчетных уровнях.

Возможно построение непараметрического последовательного правила, если справедлива аппроксимация функционального соотношения между так называемыми альтернативами Лемана . В этом случае удается сравнительно просто рассчитать l [251, 252]:

Можно показать, что для (6.16) и (6.17) аппроксимация с удовлетворительной точностью выполняется при отношениях сигнал-шум

Другая аппроксимация дает лучшие результаты (при а 1) и оказывается точной при флуктуирующем сигнале, т. е. для (6.18), а выражение для I совпадает с (6.30). Такой подход, по-видимому, может оказаться плодотворным не столько из-за упрощения техники вычислений сколько из-за того, что по утверждению К. Фу (151), с. 12.5) «альтернативы Лемана отражают типичные отклонения, обычно преобладающие во многих распределениях вероятностей...». На наш взгляд, «универсальность» альтернатив Лемана применительно к ранговым тестам, о которой говорит К. объясняется не только качеством аппроксимаций соотношений между но и в значительной степени свойством устойчивости тестов.

Расчеты характеристик могут быть проведены аналогично с использованием соотношений

При применении ранговой бинарной процедуры последовательного обнаружения удается с учетом (6.19) сравнительно просто вычислить логарифм отношения правдоподобия для вектора результатов бинарного квантования рангов (254):

Как видно из (6.34), вид распределения статистики теста (составное биномиальное) от распределений не зависит. «Расстояние» между гипотезой и альтернативой определяется лишь одним параметром Таким образом, неопределенность относительно вида при применении ранговой бинарной процедуры (6.34) сводится к неопределенности относительно одного параметра.

Результаты расчета и моделирования показывают, что такой обнаружитель уступает оптимальному ранговому (6.28) в среднем числе наблюдений в условиях гауссовского шума при некогерентном обнаружении (порядка 20% при и 1 и порядка 5—10% при ).

Как указывалось, обнаружители, использующие ранговые статистики, обладают свойством непараметричности по отношению к хаотической импульсной помехе. Это свойство, естественно, обобщается на ранговые последовательные процедуры, а параметры ХИП могут быть учтены при расчете характеристик [255].

По поводу сравнения РО с классическим обнаружителем, накапливающим отношение правдоподобия отсчетов в условиях ХИП можно констатировать следующее. Амплитуда импульса ХИП обычно намного превышает уровень шума и полезного сигнала. Поэтому появление одного-двух импульсов ХИП в каком-либо канале приводит к резкому увеличению статистики и, как следствие этого, к ложному обнаружению в этом канале за 1—2 периода наблюдения. Вероятность а практически совпадает с вероятностью появления импульса ХИП или близка к ней.

Аналогично обстоит дело с обнаружителем Неймана—Пирсона, основанным на линейном накопителе. У РО (непоследовательного и последовательного) в силу свойства непараметричности вероятность а не зависит от наличия ХИП и ее параметров. Кроме того, качество обнаружения при появлении ХИП изменяется слабо.

Поскольку критерием оптимальности при последовательном анализе, обеспечивающем заданные а и является минимум среднего числа наблюдений , то естественно замеру устойчивости процедуры принять приращение этого числа при изменении условий приема, т. е. при изменении помеховой ситуации. Однако одновременно с изменением п изменяется и вероятность D, потому что вычисляемое отношение правдоподобия, уже не соответствует новым условиям. Вероятность а, так же как и , при гипотезе в силу свойства непараметричности остается постоянной при любом шуме. В связи с тем, что в общем случае затруднительно установить зависимости между и D, устойчивость последовательной ранговой процедуры будем характеризовать совокупностью двух показателей: приращениями [256].

Полагая, что РО при вычислении l «настроен» на рэлеевский шум (6.16) и райсовскую смесь сигнала с шумом (6.17) и пользуясь формулами (6.31)-(6.33), можно рассчитать характеристики обнаружения в условиях воздействия шумов, отличных от рэлеевского. Результаты расчета характеристик для распределений (6.26) (кроме распределения 5) свидетельствуют, что надежность обнаружения при изменении вида помехи меняется слабо и, как правило, увеличивается. Увеличение для помехи с распределениями 4 и 6 незначительно — не более 30%. Для других законов оказывается существенно меньшим (в 2—3 раза).

Таким образом, изменение вида шума приводит либо к незначительному увеличению РО, либо к его уменьшению, иногда значительному, при вероятности D, как правило, выше расчетной.

Иначе обстоит дело с изменением характеристик последовательного обнаружителя, накапливающего отношение правдоподобия отсчетов и рассчитанного на рэлеевский шум. По данным статистического моделирования, характеристики обнаружителя, оптимального к рэлеевскому шуму, при воздействии шума с распределением Вейбулла оказываются неудовлетворительными и а. Так, вероятность D изменяется от 0,1 до 1 при изменении параметра распределения до 4,0. Вероятность а при этом изменяется на 9—10 порядков.

Известно, что применение последовательного критерия Вальда для многоканального обнаружения с независимым принятием решений в каналах с ростом их числа становится все менее выгодным по сравнению с критерием Неймана—Пирсона [152]. Это привело к разработке ряда модификаций последовательной процедуры, касающихся как изменения правила прекращения наблюдений, так и способа вычисления решающей статистики.

Простейшим способом недопущения затяжек последовательного анализа является переход к усеченному последовательному правилу при котором на некотором шаге оба порога заменяются одним, что приводит к принятию решения на этом шаге или до него. В ряде работ исследуются случаи применения сближающихся порогов.

В [257] предложена усеченная ранговая последовательная процедура многоканального обнаружения. Распределение ранговой статистики является дискретным и усеченным. Это свойство решающей статистики принимать конечное число дискретных значений может быть использовано для построения усеченного по числу шагов последовательного обнаружителя. Такой обнаружитель, реализуя заданные вероятности ошибок, обладает меньшей средней длительностью процедуры, чем соответствующий ему (по вероятностям ошибок) однопороговый обнаружитель с фиксированным значением числа наблюдений при любом числе каналов

Рассмотрим ранговую процедуру Неймана—Пирсона, основанную на статистике Ограниченность снизу и сверху значений, которые может принимать ранг а следовательно, и статистика приводит к тому что для некоторых значений уже на шаге можно вынести решение независимо от результатов последующих шагов, т. е. на шаге в этом случае значение может оказаться либо настолько малым, что можно гарантировать непревышение статистикой порога С даже, если за оставшиеся шагов случайная величина будет принимать максимальные значения, либо может произойти превышение порога С значением и необходимость в дальнейших наблюдениях также отпадает.

С учетом сказанного последовательная усеченная процедура определяется следующим правилом: на шаге испытаний принимается гипотеза если , и альтернатива если ; в противном случае испытания продолжаются.

Таким образом, предполагается наличие двух порогов: верхнего — постоянного и нижнего — переменного. По мере роста пороги сближаются и на шаге наблюдений оказываются равными, т. е. двухпороговый последовательный обнаружитель при усечении переходит в однопороговый Неймана—Пирсона.

Рисунок 6.6 иллюстрирует описанное правило обнаружения. Характерные точки графика определяются из соотношений Распределение длительности процедуры можно найти прямым расчетом с использованием методики, изложенной в [161], и специфики ранговой обработки, в частности изменяющихся порогов и дискретности распределений статистики [257, 258].

Результаты расчета зависимости среднего числа испытаний для усеченного последовательного обнаружителя от числа анализируемых каналов N представлена на рис. 6.7 (кривые 1,2). Там же для сравнения показана зависимость для неусеченного последовательного рангового

теста (6.32) (кривая 3). Значениям для которых построены зависимости, соответствует обнаружитель Неймана—Пирсона

Из рис. 6.7 видно, что при числе каналов последовательный неусеченный обнаружитель требует уже большего числа наблюдений, чем усеченный.

Рис. 6.6. К иллюстрации рангового усеченного последовательного правила обнаружения

Рис. 6.7. Зависимость среднего числа наблюдений от числа каналов N для усеченного РО

Рис. 6.8. Структурная схема последовательного усеченного многоканального РО

Выигрыш усеченного обнаружителя по сравнению с неусеченным при больших N объясняется тем, что дисперсия числа испытаний при одноканальной процедуре в первом случае существенно меньше, чем во втором, хотя для математических ожиданий справедливо обратное соотношение. Благодаря большой дисперсии длительности наблюдения при неусеченном анализе может оказаться, что решение в каком-либо канале значительно задерживается по сравнению с другими каналами, что и определяет общую большую длительность.

На рис. 6.8 представлена схема усеченного многоканального обнаружителя. Он состоит из вычислителя ранга (ВР), сумматора (2), запоминающего устройства (ЗУ), пороговых устройств (), блока установки порога С (БУП), блока принятия решения (БПР) и блока коррекции статистики (БКС). В 2 складывается значение гл с суммой рангов, полученных в предыдущих периодах наблюдений, которая хранится в ЗУ. Вместо изменения нижнего порога обнаружения на каждом шаге испытаний статистика получает в БКС эквивалентное приращение.