7.3.2. Устойчивость обнаружителей

В реальных условиях функционирования характеристики принимаемых сигналов и действующих шумов могут отличаться от предполагаемых, при этом возможны утрата непараметрических свойств и снижение эффективности обнаружителей. Устойчивость обнаружителей по отношению к изменениям сигналов и шумов можно характеризовать асимптотической эффективностью при условии сохранения непараметрических свойств.

Анализ устойчивости выполним в предположении, что сигнал детерминирован; полученные результаты остаются справедливыми и по отношению к квазидетерминированному сигналу, однако соответствующие этому случаю выкладки не приводятся во избежание повторений и излишней громоздкости.

Пусть ожидаемый сигнал s не содержит постоянной составляющей и удовлетворяет ограничениям (7.6), (7.7) и, следовательно, ограничениям (7.24), (7.25), а ожидаемый шум имеет плотность типа и не содержит неизвестной постоянной составляющей. Не снижая общности, можно положить поскольку известная ненулевая

постоянная составляющая может быть скомпенсирована очевидным образом.

Наложенные ограничения определяют исходную модель сигнала и помехи.

Для принятой исходной модели могут быть построены ранговый и знаково-ранговый асимптотически оптимальные обнаружители, при этом структура рангового алгоритма определяется выражением (7.15) при а знаково-рангового — непосредственно выражением (7.26). Асимптотическая оптимальность алгоритма (7.15) при была установлена Б. Р. Левиным [1]. Из результатов [2681 следует, что при отсутствии у шума постоянной составляющей условие является необходимым для достижения асимптотической оптимальности.

Полагая, что весовые коэффициенты в алгоритмах (7.15), (7.26) соответствуют форме ожидаемого сигнала s, а характеристики нелинейных преобразователей — заданному типу плотности W, рассмотрим несколько характерных ситуаций, возникающих при действии на обнаружители сигналов и помех, отличающихся от принятых в исходной модели.

Ситуации 1. Принимаемый сигнал тип плотности действующей помехи постоянные составляющие сигнала и помехи

Вычисление коэффициентов корреляции по (7.40), (7.41) дает Следовательно, для всех сигналов и плотностей, при которых асимптотическая эффективность рангового и знаково-рангового обнаружителей оказывается одинаковой и составляет

Поскольку оба типа обнаружителей сохраняют непараметрические свойства при действии помех с любыми типами плотностей из класса равенство (7.57) свидетельствует об одинаковой устойчивости рангового и знаково-рангового обнаружителей к изменениям сигналов и помех в рассматриваемой ситуации.

В подклассе плотностей непараметрические свойства сохраняет только ранговый обнаружитель, и его асимптотическая эффективность по-прежнему определяется соотношением (7.57).

Ситуация 2. Принимаемый сигнал отличается от ожидаемого наличием ненулевой постоянной составляющей

При и ранговый обнаружитель теряет свойство асимптотической оптимальности, а выбор характеристики нелинейного преобразователя соответственно плотности действующего шума обеспечивает ему наибольшую эффективность только в классе ранговых обнаружителей; достигаемая при этом асимптотическая эффективность определяется выражением

где

— отношение мощности постоянной составляющей к средней мощности сигнала

Для вывода (7.58) достаточно вычислить асимптотическую относительную эффективность рангового обнаружителя относительно оптимального обнаружителя Неймана—Пирсона. Это вычисление можно выполнить на основе определения (7.37), поскольку характеристики обнаружения оптимального и рангового обнаружителей имеют одинаковую форму, однако вероятность обнаружения у оптимального обнаружителя в отличие от рангового, определяется полной энергией сигнала, а не только энергией переменной составляющей.

Для оценки эффективности знаково-рангового обнаружителя вычислим коэффициент корреляции сигналов s и по формуле (7.41). Получаем и далее, используя (7.45), находим асимптотическую эффективность знаково-рангового обнаружителя в рассматриваемой ситуации , значение которой совпадает с результатом (7.58), полученным для рангового обнаружителя. Отсюда следует вывод об одинаковой устойчивости рангового и знаково-рангового обнаружителей по отношению к действию неизвестной постоянной составляющей сигнала.

Если постоянная составляющая принимаемого сигнала известна, то асимптотическая эффективность знаково-рангового обнаружителя может быть повышена до единицы заменой весовых коэффициентов в (7.26) на коэффициенты в то время как эффективность рангового алгоритма (7.15) не может быть увеличена. В этом случае асимптотическая относительная эффективность знаково-рангового алгоритма по отношению к ранговому, вычисленная по (7.39), составит

Следовательно, знаково-ранговый обнаружитель оказывается эффективнее рангового, если принимаемый сигнал содержит известную ненулевую постоянную составляющую, поскольку при

В частности, при обнаружении постоянного сигнала известной интенсивности и асимптотическая относительная эффективность при этом асимптотическая эффективность рангового обнаружителя падает до нуля, в то время как знаково-ранговый обнаружитель осуществляет асимптотически оптимальное обнаружение.

Ситуация 3. Сигнал и шум содержат неизвестные постоянные составляющие

В данной ситуации знаково-ранговый обнаружитель теряет непараметрические свойства ввиду зависимости знаков и рангов абсолютных значений элементов выборки (7.4) от значения и знака постоянной составляющей помехи,

Ранговый обнаружитель в рассматриваемых условиях сохраняет непараметрические Свойства и является асимптотически оптимальным обнаружителем вне зависимости от того, содержит сигнал ненулевую (возможно, неизвестную) постоянную составляющую или нет при этом вероятность обнаружения сигнала зависит только от интенсивности его переменной составляющей.

Если принимаемый сигнал приближается к постоянному вследствие снижения интенсивности переменной составляющей то, как следует из (7.7) и (7.14), , что означает утрату ранговым обнаружителем свойства состоятельности. Поскольку ранговый обнаружитель в рассматриваемых условиях является асимптотически оптимальным обнаружителем в классе всех возможных, а не только ранговых обнаружителей, то потеря им состоятельности может рассматриваться как следствие принципиальной невозможности обнаружения постоянного сигнала на фоне помехи с неизвестной постоянной составляющей.

Ситуация 4. Если помеха имеет несимметричную плотность с известной постоянной составляющей сигнал содержит ненулевую постоянную составляющую , то построение асимптотически оптимальных непараметрических обнаружителей описанными методами оказывается невозможным, поскольку знаково-ранговые алгоритмы теряют непараметрические свойства вследствие асимметрии распределения, а эффективность ранговых алгоритмов оказывается пониженной (меньше единицы) из-за влияния постоянной составляющей сигнала. Представляется весьма вероятным, что в данных условиях асимптотически оптимального непараметрического алгоритма, основанного на знаках и рангах элементов наблюдаемой выборки, вообще не существует. Ввиду того что при проектировании непараметрических обнаружителей именно непараметрическим свойствам придается важное значение, в рассматриваемых условиях более приемлемым оказывается использование ранговых обнаружителей, особенно в случаях, когда энергия постоянной составляющей мала по сравнению с полной энергией сигнала что характерно при использовании импульсных сигналов. Возникающие при этом потери невелики, а непараметрические свойства сохраняются в широком классе плотностей 3

Результаты проведенного анализа устойчивости ранговых и знаково-ранговых алгоритмов обнаружения сигналов, хотя и не являются исчерпывающими, могут оказаться полезными при решении вопросов о целесообразности применения непараметрических обнаружителей в информационных системах различного назначения, а также выборе типа и параметров непараметрических обнаружителей.