5.6.5. Эффективность совместного амплитудного и частотного подавления помех

Рассмотрим эффективность совместного применения НЭ и ОФ в целях защиты фильтровых или корреляционных каналов обработки, рассчитанных на гауссовскую помеху, от коррелированных негауссовских помех при малом отношении сигнал-помеха на входе НЭ. Рассмотрение проведем на примере широкополосного когерентного тракта. При совместном применении НЭ и ОФ эффективность защиты зависит от последовательности включения НЭ и ОФ до согласованного фильтра (СФ) или типовой корреляционной обработки. Ввиду этого рассматриваются различные варианты включения.

Частотно-амплитудное подавление. Рассматривается дискретная обработка сигнала в широкополосном когерентном тракте по схеме ОФ-НЭ-СФ. Обеляющий фильтр задан матрицей преобразования которая связана с корреляционной матрицей помехи и обратной корреляционной матрицей матричными уравнениями [см. (5.66), (5.67)]

На вход ОФ подается смесь сигнала и помехи На выходе ОФ имеем:

Уровень помехи на выходе ОФ считаем существенно выше уровня сигнала.

Нелинейный элемент, стоящий за ОФ, рассчитывается на максимум подавления помехи на выходе ОФ и, следовательно, имеет характеристику

где — одномерная плотность вероятности помехи на выходе ОФ.

На выходе СФ имеем статистику

которую характеризуем отношением сигнал-помеха по формуле (5.3):

где

— дисперсия распределения .

С учетом равенств (5.171):

В результате

Формула (5.179) выражает отношение сигнал-помеха на выходе канала ОФ—НЭ—СФ. Коэффициент характеризует эффективность включения НЭ после обеляющего фильтра. Оценим его величину. Декорреляция (обеление) осуществляется по правилу

Величина пропорциональна количеству информации Фишера

содержащейся в распределении . Известно [32], что если плотность вероятности W представляет собой свертку с произвольной плотностью, то

Следовательно, если бы отсчеты в (5.180) были независимы, то распределение W статистики , равное свертке с плотностью комбинации удовлетворяло бы условию .

Действительные значения зависимые, и поэтому

а соответственно

Границы неравенства (5.182) сближаются с ослаблением корреляции между и когда эти отсчеты действительно независимы . С усилением корреляции между оценочный интервал расширяется, но при этом приближается к . Последнее объясняется дружными флуктуациями отсчетов , при которых распределение мало отличается от по форме.

Оценка величины неравенством (5.182) удобна тем, что использует только одномерное распределение помехи Плотность W наиболее просто выражается через по формулам

где

- характеристическая функция, соответствующая .

Рис. 5.23. Эффективность амплитудного подавления негауссовской помехи после обеляющего фильтра

В качестве примера оценим с помощью неравенства (5.182) коэффициент при

Алгоритм (5.180) при экспоненциальной форме корреляции помехи принимает простейший вид , где .

Характеристическая функция, соответствующая заданному равна . По (5.183) находим

По формуле (5.176) получаем , а

График зависимости от показан на рис. 5.23. Нижняя граница приближается к истинному значению коэффициента эффективности с уменьшением коэффициента корреляции .

Обработка в канале ОФ-НЭ-СФ близка по эффективности к оптимальной обработке при сильной и слабой корреляции помехи.

При сильной корреляции помеха юдавляется в основном обеляющим фильтром, а при слабой — нелинейным элементом. При промежуточной

промежуточной корреляции помехи включение ОФ на входе нежелательно ввиду его нормализующего действия, снижающего эффект последующего нелинейного подавления. Кроме этого, после ОФ возрастает отношение сигнал-помеха, что также приводит к снижению эффективности НЭ, рассчитанного на малые отношения сигнал-помеха.

Амплитудно-частотное подавление.

Исследуем обработку по схеме НЭ-ОФ-СФ. Такая обработка реализуется на базе канала, оптимального к гауссовским коррелированным помехам. Будем считать, что ОФ имеет матрицу преобразования удовлетворяющую соотношению

где — матрица, обратная , - нормированной корреляционной матрице помехи на выходе НЭ. Характеристика НЭ

Рассматриваемый канал обработки описывается алгоритмом

где

Статистика (5.185) имеет среднее и дисперсию а:

Отношение сигнал-помеха на выходе канала НЭ-ОФ-СФ равно

где

Если НЭ в канале обработки отсутствует, то

Следовательно, включение НЭ на входе канала, оптимального к гауссовской коррелированной помехе, увеличивает отношение сигнал-помеха на выходе канала в раз, где

С учетом (5.187 формулу (5.186) можно записать в виде

Сравнивая (5.188) с (5.179) заключаем, что эффективность канала НЭ-ОФ-СФ по отношению к ОФ-НЭ-СФ выражается величиной Численные расчеты показывают, что в области промежуточной корреляции . Следовательно, включение НЭ до ОФ выгоднее, чём после ОФ

Если канал НЭ-ОФ-СФ применяется в обнаружителе сигнала, то при выборе характеристики НЭ следует учитывать дополнительные соображения. Допустим, на канал НЭ-ОФ-СФ действуют помехи импульсного типа и накопление в СФ недостаточно для удовлетворительной нормализации статистики обнаружения. В этом случае статистика обнаружения будет характеризоваться значительным положительным эксцессом. Распределение такой статистики имеет более высокие и длинные «хвосты» по сравнению с кривой Гаусса. При этом «порог», соответствующий малой вероятности ложной тревоги, располагается дальше от моды распределения, чем при гауссовском законе.

С появлением обнаруживаемого сигнала распределение статистики обнаружения смещается на среднее Однако в случае распределения с положительным эксцессом это смещение вызывает меньшее приращение площади под кривой распределения правее порога, чем при гауссовском законе, т. е. возникают потери в вероятности правильного обнаружения. Для устранения этих потерь выгоднее вместо НЭ с характеристикой (5.184) включать НЭ с нормализующей амплитудной характеристикой. При заданной плотности вероятности помехи W НЭ с нормализующей характеристикой находится из уравнения

Отношение сигнал-помеха на выходе НЭ с нормализующей характеристикой изменяется в раз, где

— дисперсия помехи на входе НЭ.

Величина меньше максимальной шах достигаемой при НЭ с характеристикой Однако вследствие устранения потерь в вероятности правильного обнаружения, вызываемых неудовлетворительной нормализацией статистики обнаружения, эффект в целом может быть значительным, особенно при малых вероятностях ложной тревоги, когда отличие статистики обнаружения от гауссовской ощутимее.

Покажем эффективность применения нелинейной нормализации на примере-помехи с логонормальным распределением

где гауссовский процесс с нулевым средним и корреляционной функцией

Канал НЭ-ОФ-СФ с нелинейной нормализацией для заданного описывается алгоритмом

где . В данном случае

На рис. 5.24 представлены характеристики обнаружения для двух значений вероятности ложной тревоги а: сплошными линиями — соответствующие алгоритму (5.192), штриховыми — соответствующие линейному алгоритму

- коэффициент корреляции соседних отсчетов помехи. Сплошные кривые получены расчетным путем, а штриховые — методом Монте-Карло при моделировании статистики (5.193) на ЭВМ. В расчетах и моделировании принято Сигнал рассматривался в виде последовательности чисел Аргументом характеристик служит отношение сигнал-помеха , где — дисперсия помехи.

Рисунок 5.24 свидетельствует о существенной эффективности нелинейной нормализации, особенно при малой вероятности ложной тревоги.

Рассмотрим канал обработки без ОФ. Схема НЭ-СФ описывается алгоритмом

Исследуем его помехоустойчивость при действии коррелированной негауссовской помехи с корреляционной матрицей . Считаем нелинейную обработку произвольной, полагая . Средние и дисперсии статистики (5.194) при условии малости отношения сигнал-помеха на входе НЭ равны

где — нормированная корреляционная матрица помехи на выходе НЭ. Отношение сигнал-помеха на выходе СФ

Рис. 5.24. Характеристики обнаружения

- коэффициент потерь от корреляции помехи в схеме НЭ-СФ. В отсутствие НЭ и ОФ каналом формируется статистика характеризуемая отношением сигнал-помеха на выходе

- коэффициент потерь от корреляции помехи для СФ.

Из сравнения формул (5.195), (5.196) определяем коэффициент эффективности нелинейной обработки в схеме НЭ-СФ при коррелированных помехах:

Вычисления показывают, что , т. е. эффект нелинейной обработки слабо зависит от корреляционных свойств помехи.

Каналы обработки с параллельно-последовательным включением НЭ и ОФ.

Рассмотрим помехоустойчивость канала обработки, построенного по схеме рис. 5.25, где каждый из каналов 1 и 2 представляет собой СФ, защищенный на входе безынерционным нелинейным элементом и (или) обеляющим фильтром. Ожидаемая помехоустойчивость такой обработки выше, чем при последовательной схеме НЭ-ОФ-СФ, которая является частным случаем рассматриваемой схемы.

Результатом обработки входного сигнала является статистика

где — статистики, формируемые в ветвях 1 и 2; К — ведовой коэффициент.

Помехоустойчивость будем характеризовать отношением

где — приращение математического ожидания статистики Z, вызванное наличием полезного сигнала; дисперсия статистики , не зависящая от наличия или отсутствия полезного сигнала, если он слабый или каналы 1 и 2 линейные.

Отношение (5.198) можно записать в следующем виде:

Рис. 5.25. Тракт обнаружителя с амплитудно-частотной защитой от помех

где — коэффициент корреляции статистик — характеристики статистик .

Для наилучшего подавления помехи регулируемые параметры защитных устройств и весовой коэффициент К должны устанавливаться такими, при которых обеспечивается максимум отношения (5.199). Наилучшие значения параметров сложным образом зависят от характеристик помехи и вида сигнала. Практически удобнее раздельное согласование НЭ только с одномерным распределением помехи, а ОФ — только с корреляционной функцией помехи на входе ОФ. При фиксированных параметрах каналов 1 и 2 весовой коэффициент , доставляющий максимум отношения (5.199), равен

При этом

где — отношения типа (5.198) для каждого из каналов схемы рис. 5.25.