Глава 1. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1. Структура асимптотически оптимального обнаружителя

1.1.1. Байесовский обнаружитель

Пусть доступна наблюдению реализация случайного процесса , которая может быть только шумом или комбинацией сигнала и шума . Необходимо определить алгоритм обработки наблюдаемого процесса и характеристики алгоритма. Посредством этого алгоритма выносится решение о наличии или отсутствии сигнала в наблюдаемом процессе. Задачу обнаружения сигнала на фоне шума удобно сформулировать в терминах проверки статистических гипотез. Именно подлежит проверке гипотеза (простая или сложная) против альтернативы (также простой или сложной)

Символ обозначает произвольную комбинацию сигнала и шума. Теперь определение алгоритма обнаружения сводится к отысканию правила выбора решения по наблюдаемым данным в пользу одной из гипотез или

В качестве рабочих характеристик алгоритма обнаружения (в зависимости от выбора критерия оптимальности) могут использоваться зависимости среднего риска или вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала от исходных параметров сигнала и шума.

При наличии полной априорной информации о сигнале и помехе используется критерий минимума среднего риска (байесовский критерий). Оптимальное байесовское правило обнаружения, т. е. оптимальное разбиение -мерного выборочного пространства X на две непересекающиеся области основывается на минимизации среднего риска

Здесь матрица потерь; априорная вероятность наличия сигнала; условная плотность вероятности (функция правдоподобия) выборки в предположении, что верна гипотеза

Очевидно, найти структуру байесовского обнаружителя посредством минимизации (1.1) можно лишь при наличии довольно большого числа априорных сведений. Должны быть заданы матрица потерь, априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала, модели сигнала

и помехи и способ их комбинации, определяющие функцию правдоподобия. Поэтому в задачах обнаружения находят применение критерии, отличные от байесовского.

Так, при неизвестных априорных вероятностях наличия и отсутствия сигнала может быть использован минимаксный критерий. Минимаксный алгоритм обнаружения представляет собой частный случай байесовского алгоритма для наименее предпочтительных значений вероятностей , при которых байесовский (минимальный) средний риск при любых . Когда известны априорные вероятности но неизвестна матрица потерь, может быть использован критерий максимума апостериорной вероятности. В соответствии с этим критерием решение выносится в пользу гипотезы, которая обладает максимальной апостериорной вероятностью Наконец, когда неизвестны как априорные вероятности, так и матрица потерь, часто используют критерий максимального правдоподобия, предполагающий сравнение функций правдоподобия .

Кроме перечисленных критериев обнаружения широкое применение находит критерий Неймана—Пирсона. Для этого критерия фиксируется вероятность ложной тревоги

и минимизируется вероятность пропуска сигнала

Критерий Неймана—Пирсона, как и критерий максимального правдоподобия, не требует знания априорных вероятностей наличия и отсутствия сигнала, а также матрицы потерь. Заметим, что синтез обнаружителя, оптимального в смысле любого из упомянутых критериев, требует наличия априорных данных, позволяющих построить функции правдоподобия . Более подробный обзор приведенных здесь и других критериев оптимальности обнаружения можно найти в [1, 15, 17, 29 и др.].

Положим, что обнаружению подлежит детерминированный сигнал на фоне помехи по наблюдаемой выборке Тогда алгоритм обнаружения сводится к сравнению с порогом С отношения правдоподобия Значение порога С определяется выбранным критерием оптимальности обнаружения. При использовании байесовского критерия порог

Для критерия Неймана—Пирсона где выбирает из условия обеспечения требуемого значения вероятности ложной тревоги (1.2). Если для обнаружения сигнала используется реализация не дискретная выборка ), то с порогом сравнивается функционал

ционал отношения правдоподобия Однако задача обнаружения детерминированного сигнала на фоне шума, все статистические характеристики которого априори известны, встречается весьма редко. Реальные условия приема сигнала на фоне шума, как правило, приводят к необходимости решения задачи обнаружения в условиях априорной неопределенности. Априорная неопределенность относительно сигнала и шума может иметь различную форму. Соответственно весьма разнообразными оказываются методы преодоления априорной неопределенности 11, 15, 17, 29 и др.].

Рассмотрим один частный случай параметрической априорной неопределенности относительно обнаруживаемого сигнала. Положим, что полезный сигнал содержит неизвестных параметров распределенных с априорной плотностью вероятности (известной или неизвестной) в области Тогда при известной функции байесовский алгоритм имеет вид принимаются решения о наличии сигнала, если

и решение об отсутствии сигнала, когда . В (1.5)

- усредненный ФОП; , а порог С определяется из (1.4). При использовании других критериев обнаружения порог в (1.5) может отличаться от С (1.4).

Конкретизируем эти общие соотношения применительно к следующей модели сигнала и шума, которая далее исследуется в этой главе. Пусть при

где — реализация гауссовского шума и

Полезный сигнал предполагается известной функцией времени t и неизвестных параметров . Тогда

— логарифм ФОП, а — решение интегрального уравнения

Последнее слагаемое в (1.10) определяет отношение сигнал-шум при фиксированных значениях неизвестных параметров . Будем называть II, 27, 29]

где истинное значение неизвестных параметров, отношением сигнал-шум для принятого сигнала (1.7).

Рис. 1.1. Байесовский приемник

Соотношения (1.6), (1.9)-(1.11) определяют структуру байесовского обнаружителя сигнала с неизвестными параметрами на фоне гауссовского шума. Функциональная схема байесовского обнаружителя сигнала с одним неизвестным параметром приведена на рис. 1.1. Здесь приняты обозначения: нелинейный преобразователь с экспоненциальной характеристикой;

объем области ; ПУ — пороговое устройство с порогом .

Функциональная схема рис. 1.1 лишь приближенно реализует байесовский обнаружитель, так как вместо интеграла в (1.6) эта схема вырабатывает его аппроксимацию в виде конечной суммы v слагаемых. Для точной реализации байесовского обнаружителя необходимо в схеме рис. 1.1 использовать бесконечно большое число корреляторов, опорные сигналы которых отличаются значениями параметра сдвинутыми на бесконечно малую величину. Техническая реализация такого

устройства вряд ли возможна. Заметим, что при обнаружена сигнала с неизвестным неэнергетическим параметром [27], распределенным равновероятно в интервале , все bk = const и необходимость в использовании соответствующих перемножителей отпадает.

Естественной характеристикой байесовского алгоритма обнаружения является байесовский риск, равный минимальному значению сред него риска (1.1). Однако во многих прикладных задачах удобнее рировать вероятностями ошибок 1-го рода (ложной тревоги) а (1.2 и ошибок 2-го рода (пропуска сигнала) (1.3). Для произвольных параметров точное определение весьма затруднительно, так что приходится прибегать к приближенным методам. Возможность применения приближенных методов для определения характеристик обнаружителя существенно зависит от отношения сигнал-шум свойств шумовой

и сигнальной

функций, которые подробно рассмотрены в [27].

Большинство приближенных методов расчета для байесовского обнаружителя основано на вычислении моментов усредненного ФОП (1.6). В результате, как правило, определяются лишь некоторые границы для вероятностей ошибок [15 и др.].