1.2.3. Сигнал с одним неизвестным параметром

Конкретизируем общие выражения для вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала применительно к обнаружению сигнала, зависящего лишь от одного неизвестного неэнергетического параметра . В этом случае приближенная формула для среднего числа выбросов (1.60) совпадает с точной и среднее число выбросов реализации одномерного случайного процесса за уровень Н в интервале равно , где приведенная длина априорного интервала определения неизвестного параметра

Следовательно, выражение для вероятности ложной тревоги (1.62) принимает вид

а вероятность пропуска сигнала (1.73) при выполнении (1.68) равна

Если для обнаружения сигнала с одним неизвестным неэнергетическим параметром используется асимптотически байесовский приемник, то в (1.90), (1.91) надо положить . Полагая, что априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала равны можем записать выражение для средней вероятности ошибки

при асимптотически байесовском обнаружении.

Зависимость для приведенной длины априорного интервала нанесена на рис. 1.5 сплошной линией. Однако порог и минимизирует среднюю вероятность ошибки лишь при . Поэтому можно ожидать, что при конечных отношениях сигнал-шум средняя вероятность ошибки при обнаружении может быть уменьшена соответствующим выбором порога и. Для иллюстрации зависимости

средней вероятности ошибки от выбора порога при конечных отношениях сигнал-шум на рис. 1.5 штриховой линией нанесена зависимость

Здесь порог выбран из условия

На этом же рисунке штрихпунктиром представлена зависимость

средней вероятности ошибки при обнаружении по критерию идеального наблюдателя сигнала, все параметры которого известны [421. Из рис. 1.5 следует, что оптимальный выбор порога при конечных отношениях сигнал-шум может заметно уменьшить значение средней вероятности ошибки по сравнению с ее значение при асимптотически оптимальном пороге .

Рис. 1.5. Средняя вероятность ошибки

Рис. 1.6. Порог обнаружителя

Зависимости оптимального порога приведены на рис. 1.6 для различных значений . Там же штриховой линией нанесена функция Кривые рис. 1.6 показывают, что с ростом отношения сигнал-шум оптимальный порог тем быстрее сходится к асимптотически оптимальному, чем меньше приведенная длина априорного интервала

В ряде работ [14, 53 и др.] для приближенного расчета вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала с неизвестным параметром

пользуется другой метод. Этот метод основан на замене непрерывной функции ее значениями, взятыми в отдельных точках априорного интервала . При этом предполагается, что неизвестный параметр принимает одно из дискретных значений таких, что при статистически независимы. Тогда при обнаружении вероятности ошибок

где и — вероятности ошибок при обнаружении известного сигнала (1.77), (1.78). Формулы (1.94) при несколько упрощаются и принимают вид

Следовательно, согласно (1.75) и (1.78) при больших и и расчет вероятности пропуска по (1.91) и, (1.94) приводит к одинаковому значению р, совпадающему с вероятностью пропуска известного сигнала. При этих же предположениях вероятность ложной тревоги, рассчитанная по (1.90),

Из (1.95), учитывая асимптотическое поведение при , имеем

откуда следует, что

Если, например, сигнальная функция имеет колокольную форму, то

Таким образом, при больших и расчет а по приближенной формуле (1.94) приводит к значениям вероятности ложной тревоги, в раз меньшим, чем расчет по (1.90). Следовательно, значения а, вычисленные по различным приближенным формулам, могут существенно отличаться друг от друга, причем, в то время как точность приближенной формулы (1.90), как и формулы (1.91), растет с увеличением поведение точности приближенных формул (1.94) неизвестно.

Формулы (1.90) и (1.91) получены на основе ряда допущений, которые носят приближенный характер. Оценить аналитически точность этих формул весьма затруднительно. Можно лишь утверждать, что их точность возрастает с увеличением и . Для конечных значений этих параметров вопрос о применимости полученных приближений можно решить экспериментальной проверкой, результаты которой приведены в конце этого параграфа.