3.2.6. Синтез минимаксных решающих правил для многоальтернативного обнаружения сигналов

Как мы видели, рассмотренные в § 3.1 критерии оптимизации многоальтернативного обнаружения (обнаружения-различения) сигналов сводятся к минимаксному критерию теории статистических решений с соответствующим образом подобранными функциями потерь, ограничением на вероятность ложной тревоги и неизвестные параметры задачи. Поэтому, как и в предыдущем одноальтернативном случае, применение к рассматриваемой задаче результатов [106] с учетом дополнительных условий (3.34) или (3.35) приводит к утверждению, что:

1. Оптимальные минимаксные (максиминные) многоальтернативные решающие правила, отвечающие критериям (3.33) и (3.36), существуют.

2. Если при заданных областях объеме выборки и виде ограничения на вероятность ложной тревоги существует наименее благоприятная совокупность априорных распределений вероятности неизвестных параметров и априорных вероятностей появления различных видов сигнала, то минимаксное решающее правило многоальтернативного обнаружения является в общем случае рандомизированным байесовским правилом в классе Y относительно этой совокупности.

Байесовским решающим правилом здесь, как обычно, называется решающее правило, минимизирующее средний риск. Однако вследствие общего ограничения на вероятность ложной тревоги рассматриваемое здесь байесовское правило минимизирует средний риск вида

где — условный средний риск. При одинаковых потерях это правйло максимизирует среднюю вероятность правильного обнаружения

Таким образом, задача отыскания минимаксного решающего правила может сводиться к отысканию наименее благоприятной совокупности распределений вероятности Р и и к выбору среди байесовских правил относительно такой совокупности правила, удовлетворяющего критерию минимакса.

В общем случае некомпактных (неограниченных) , как и при такие совокупности распределений вероятности могут не существовать, и тогда они заменяются наименее благоприятными последовательностями распределений вероятности неизвестных параметров задачи, а минимаксное решающее правило отыскивается среди байесовских в широком смысле правил относительно этих последовательностей. В частности, такая ситуация имеет место для некоторых инвариантных задач, когда роль наименее благоприятных последовательностей распределений вероятности могут выполнять соответствующие инвариантные меры.

В рассматриваемых в § 3.3 задачах обнаружения — различения минимаксные правила являются детерминированными и рандомизация не требуется.

При фиксированной вероятности ложной тревоги (3.34) решение задачи синтеза байесовских правил, как и при может основываться на теории подобных тестов (критериев) для проверки сложных статистических гипотез [121]. В случае, когда семейство плотностей совместных распределений достаточной статистики для семейства плотностей распределений входной выборки в отсутствие полезного сигнала является полным или ограниченно полным, при известных Р и задача для каждого данного t сводится к многоальтернативному обнаружению сигналов при простой гипотезе и простых альтернативах с известными априорными вероятностями альтернатив, оптимальному в смысле максимума средней вероятности правильного обнаружения-различения при заданном

Решение этой задачи (см. например, теорему 5.1 из [106]) без учета рандомизации имеет вид

где — область решения о присутствии сигнала, а пороговый коэффициент выбирается в соответствии с заданной условной вероятностью ложной тревоги

Заменяя в (3.77) на и следуя выкладкам, аналогичным случаю L = 1 (см. п. 3.2.1), находим, что критическая область искомого подобного минимаксного решающего правила без учета рандомизации определяется соотношениями

где — наименее благоприятная совокупность плотностей распределения вероятностей параметров а определяются из условий

Для отыскания или могут быть использованы следующие необходимые и достаточные условия, являющиеся следствием теоремы 3.10 [106]:

где Как и при подобное минимаксное правило может быть представлено в других эквивалентных видах, аналогичных (3.52) и (3.53).

При ограничении вероятности ложной тревоги сверху байесовское в соответствующем классе У правило при заданных , а следовательно, и искомые критические области Х; минимаксного правила без учета рандомизации определяются соотношениями [121]

где совокупности плотностей наименее благоприятных распределений , а однозначно определяются из условий

Для отыскания и можно воспользоваться условиями (3.36) совместно с условиями

где

Смысл этих необходимых и достаточных условий состоит в том, что наименее благоприятные распределения должны быть сосредоточены в области, где и постоянные и достигают соответственно максимального и минимального значений, равных (либо имеют их своими пределами).

В случаях, когда вероятности одного или нескольких одновременных равенств в первых соотношениях решающих правил (3.78) и (3.81) отличны от нуля, решение об обнаружении и выбор альтернативы должны проводиться случайно (рандомизированно) в соответствии с распределениями вероятностей, определяемыми совместно с пороговыми константами из тех же условий (3.79) и (3.82).

Как и при двоичном обнаружении, если минимаксное правило (3.81) фактически подобно, оно является и минимаксным среди подобных, т.е. эквивалентно правилу (3.78).

Задача многоальтернативного обнаружения называется G - инвариантной, если относительно преобразований выборочного пространства инвариантны все плотности а области в инвариантны относительно соответствующей индуцированной группы G преобразований g параметрического пространства. В этих условиях естественно ожидать, что наименее благоприятные распределения будут инвариантными относительно G, а искомое минимаксное правило — инвариантным относительно G. Действительно, и в этом случае справедлива теорема, подобная теореме Ханта-Стейна (см. п. 3.2.3), устанавливающая аналогичные достаточные условия для группы G, при которых многоальтернативное минимаксное правило (как при так и при принадлежит к почти инвариантным правилам. Для отыскания же минимаксных правил в классе -инвариантных можно воспользоваться теми же методами, что и в п. 3.2.3, с использованием максимальных инвариантных статистик как для входной выборки, так и в пространстве минимальных достаточных статистик для семейства плотностей данной задачи.

В случаях, когда задача многоальтернативного обнаружения симметрична относительно альтернатив, для нее

оказываются одинаковыми. Задача обнаружения-различения называется симметричной относительно альтернатив, если существует конечная группа G изометрических преобразований выборочного пространства, относительно которой задача инвариантна с точностью до перестановки номеров альтернатив и в которой для каждой пары индексов найдется такое преобразование , что при любых

При этом области решения оказываются симметричными относительно альтернатив и при справедливы равенства . Рассматриваемая симметрия является частным случаем общего принципа инвариантности статистической процедуры [87], применимого и к задачам со многими решениями.

Рис. 3.3. Структурная схема минимаксного многоальтернативного обнаружителя сигналов при фиксированной (а) и ограниченной (б) вероятности ложной тревоги

Специфика инвариантности с точностью до номеров альтернатив соответствует известному термину эквивариантности [77], применияемому в статистической теории оценок параметров.

Локально минимаксные и асимптотически минимаксные решающие правила многоальтернативного обнаружения могут строиться теми же способами, что и при

Структурные схемы рассмотренных оптимальных обнаружителей-различителей сигналов непосредственно определяются соответствующими решающими правилами. Один из возможных эквивалентных вариантов структурной схемы подобного минимаксного правила (3.78) с фиксированной вероятностью ложной тревоги представлен на рис. 3.3, а, где . Структурная схема минимаксного правила (3.81) при ограниченной сверху вероятности ложной тревоги приведена на рис. 3.3, б. В частном случае, когда парциальные области решения, определяемые верхними неравенствами в правилах (3.78) и (3.81) взаимно не пересекаются, необходимость в проверке нижних неравенств отпадает. При групповом обнаружении с определением номеров присутствующих сигналов каждый канал приведенных структурных схем соответствует определенному числу и сочетанию различных видов сигналов.