3.3.2. Случайный гауссовский видеосигнал с неизвестной интенсивностью

В рассматриваемом случае условные плотности распределения вероятностей входной выборки при отсутствии и наличии сигнала имеют вид

Как видно из (3.88), (3.89) и (3.60) — (3.63) задача обнаружения инвариантна относительно группы G преобразований масштаба выборочного пространства вида , где матрица преобразования масштаба в X. Таким образом, согласно теореме и лемме Ханта—Стейна искомое минимаксное решающее правило при условии ограничения а сверху находится среди -инвариантных правил и совпадает с минимаксным инвариантным правилом. Так как G транзитивна в 60, искомое правило является одновременно и минимаксным среди подобных правил, т. е. минимаксным правилом при условии фиксированной вероятности ложной тревоги.

Для отыскания инвариантного минимаксного правила предположим, что наименее благоприятное распределение вероятности параметра Y сосредоточено в точке и найдем наиболее мощное решающее правило уровня относительно наименее благоприятной априорной меры с элементом к которой с точностью до масштаба стремится наименее благоприятная последовательность априорных вероятных мер.

Применяя формулу

находим, что отношение правдоподобия максимального инварианта при равно в соответствии с (3.71)

Следовательно, единственное наиболее мощное инвариантное правило обнаружения случайного видеосигнала при имеет вид

где пороговая константа С однозначно определяется заданным значением вероятности ложной тревоги.

В [117] показано, что вероятность правильного обнаружения этого правила монотонно возрастает с увеличением у. Это, как и (3.58), подтверждает правильность предположения о характере наименее благоприятного распределения у при альтернативе и окончательно доказывает минимаксность (3.91) в при обоих видах ограничения на вероятность ложной тревоги [82, 119].

Правило (3.91) было получено в [117] как подобное с наименьшим пороговым отношением 70, гарантирующим заданное (50.

Для вычисления отношения правдоподобия максимального инварианта можно было бы воспользоваться также методом Стейна (см. § 3.2) или интегрированием плотности по элементарным -инвариантным множествам.

Так по методу Стейна выбирается -инвариантная мера в выборочном пространстве, например и плотности относительно этой меры:

при любом фиксированном например при подставляются в формулу (3.67):

Применяя формулу

приходим к (3.90).

Интегрирование по -инвариантным элементарным множествам центральным элементарным конусам — соответствует формуле типа

где и, следовательно, матрица линейного преобразования подобия (гомотетии) выборочного пространства,

Минимаксное решающее правило можно получить также и методом отыскания максимального инварианта в пространстве достаточной статистики которым является статистика . Несмотря на кажущуюся простоту этого метода, переход к решающему правилу Z С требует проверки монотонности отношения правдоподобия для Z, что в данном случае непросто.

Следует отметить также, что в этой задаче при неизвестных и произвольных и В решающее правило максимального правдоподобия не удается найти в явном виде [105]. Однако можно применить принцип условного максимального правдоподобия при фиксированном который приводит также к правилу обнаружения (3.91). Решающим правилом максимального правдоподобия для проверки сложной гипотезы против сложной альтернативы здесь понимается правило [87]

где С определяется заданным ограничением на вероятность ложной тревоги а

Совпадение минимаксного правила и правила отношения правдоподобия при фиксированном не случайно. Такая эквивалентность имеет место, по меньшей мере, во всех задачах обнаружения, связанных с гауссовским распределением вероятности, инвариантных относительно группы G преобразований сдвига и (или) масштаба, если соответствующая индуцированная в 0 группа транзитивна в пространствах Для таких задач имеет место соотношение

В частности, нетрудно проверить, что равенство справедливо для плотности вида

и, следовательно, для плотностей (3.88), (3.89), (3.117) и (3.119), инвариантных относительно преобразований масштаба

В общем случае известно, что правило максимального правдоподобия обладает рядом положительных свойств, таких, например, как асимптотическая состоятельность и инвариантность по отношению ко всем группам преобразований, для которых инвариантна задача обнаружения сигнала [2,87].

В случаях, когда минимаксное (относительное минимаксное) правило не эквивалентно правилу максимального правдоподобия, все же последнее может быть практически достаточно близким к минимаксному. Известно [2], что при определенных условиях регулярности и

достаточно больших объемах повторной выборки или соотношениях сигнал-шум имеет место приближенное (асимптотическое) равенство

где — весовая функция, включающая как сомножитель априорное распределение вероятностей оценка максимального правдоподобия для О. В этих случаях правило

где наименее благоприятные весовые функции, соответствующие (О) и обладает приближенно минимаксными (е-минимаксными, асимптотически минимаксными) свойствами по соответствующему абсолютному или относительному критериям.

Минимаксное правило (3.91) можно было бы получить и методами отыскания минимаксного подобного решающего правила или правила, минимизирующего пороговое отношение сигнал-шум при фиксированной вероятности ложной тревоги, как это сделано в [117].

Учитывая, что в рассматриваемой задаче модифицированная огибающая функции мощности Рог (О) фиксирована на контурах на которых мощность минимаксного правила (3.91) постоянна, это правило является также и наиболее строгим в модифицированном смысле (см. п. 3.1.5). Транзитивность G на приводит также к оптимальности (3.91) и по относительному энергетическому критерию (3.27).

Минимаксное правило, очевидно, может быть представлено в виде

где , а также в эквивалентном виде с одной квадратичной формой

В отличие от (3.91), где каждая из двух квадратичных форм положительно определена, квадратичная форма в (3.99) при не обладает таким свойством.

В случаях обнаружения слабых и сильных сигналов правило (3.98) допускает некоторое упрощение. Для слабых сигналов при справедливо матричное соотношение

с помощью которого (3.91) преобразуется к виду [117]

Решающее правило (3.101) является пределом последовательности минимаксных правил (3.91) при следовательно, локально минимаксным по критерию (3.21) и одновременно локально оптимальным

по критерию (3.18). Оно может быть получено также методом (3.72). Методом комбинирования достаточных статистик оно было получено в [144].

В случае обнаружения заведомо сильных сигналов при в силу асимптотического представления

пределом последовательности правил (3.91) является правило [117]

Оба предельных решающих правил, очевидно, не зависят от т. е.обладают свойством равномерно наибольшей мощности соответственно в областях малых и больших

Как видно из (3.102) и (3.103), в условиях, когда матрица является особенной и не имеет обратной, правило (3.103) неприменимо. В этом случае матрица может быть представлена в виде где -матрица ранга , составленная из векторов-столбцов, определяющих в X подпространство сигнала размерности . С помощью матричного равенства [133]

находим, что

и, следовательно, асимптотическая форма минимаксного правила (3.98) может быть представлена в виде

В частном случае когда матрица А заменяется на -вектор а, из (3.104) имеем равенство

откуда получаем минимаксное правило обнаружения квазидетерминированного сигнала со случайной амплитудой распределенной по нормальному закону на фоне гауссовской помехи с неизвестной интенсивностью:

Это правило эквивалентно минимаксному правилу для обнаружения детерминированного сигнала с неизвестными амплитудой и полярностью [118, 119], являющемуся РНМ инвариантным относительно группы изменений масштаба и знака всех составляющих которое, следовательно, является минимаксным и при случайной амплитуде, распределенной по произвольному симметричному закону.

Применение равенства (3.104) к случаю невырожденной приводит к еще одному эквивалентному варианту минимаксного правила (3.91)

предельной формой которого при является правило (3.101).

Рассмотрим в качестве примера обнаружение нестационарных некоррелированных сигналов на фоне нестационарного некоррелированного шума с неизвестной интенсивностью. В этом случае известные нормированные корреляционные матрицы имеют диагональный вид

а — дисперсии выборочных значений сигнала и шума.

При выбранных обозначениях

Комплексный аналог минимаксного правила (3.108) рассмотрен в [82, 118].

Подставив (3.109) и (3.110) в (3.91), нетрудно получить следующее минимаксное правило для рассматриваамого случая:

Обозначив

с учетом приходим к правилу

Как видно из (3.114), в качестве порога сравнения в рассматриваемом оптимальном решающем правиле фигурирует по существу оценка интенсивности шума, получаемая суммированием квадратов входных выборочных значений после весовой обработки, выравнивающей их дисперсии. Очевидно, такая операция обеспечивает наиболее эффективное использование всей выборки шума.

В левой части суммирование аналогично преобразованных квадратов выборочных значений производится с дополнительными весовыми коэффициентами монотонно зависящими от отношения

дисперсий сигнала и шума и тем самым обеспечивающими наибольший вклад от тех выборочных значений, для которых это отношение максимально. В целом же, как мы видели, решающее правило (3.114) обеспечивает независимость вероятности ложной тревоги от интенсивности шума и в соответствии с выбранными критериями наилучшим образом использует отличия в законах изменения дисперсий сигнала и шума в целях обнаружения.

Рис. 3.4. Вид критической области оптимального решающего правила (а) и правила Неймана — Пирсона при известной интенсивности шума (б) (для )

Нетрудно убедиться в том, что подстановка рассматриваемого здесь примера (3.110) в (3.98) непосредственно приводит к (3.114).

Особенность вида конусной критической области оптимальных решающих правил иллюстрирует рис. 3.4 а, где изображена оптимальная область обнаружения для простейшего случая когда (3.114) имеет вид

Для сравнения отметим, что правило Неймана — Пирсона для этого же случая при известной интенсивности шума соответствует

а критическая область для него представлена на рис. 3.4, б. На рисунках изображены также окружности и эллипсы постоянных значений плотностей