7.3. Сравнение ранговых и знаково-ранговых обнаружителей

Сравнение структурных схем ранговых обнаружителей детерминированного (см. рис. 7.1) и квазидетерминированного (см. рис. 7.2) сигналов с соответствующими схемами знаково-ранговых обнаружите- лей (см. рис. 7.3 и 7.4) показывает, что оба типа обнаружителей имеют сходную структуру и содержат временные дискретизаторы, вычислители рангов, нелинейные преобразователи функций рангов, формирователи значений статистик и пороговые устройства.

Отличительной особенностью знаково-ранговых обнаружителей по сравнению с ранговыми является наличие нелинейного модульного преобразователя элементов выборки и канала формирования знаков; возникающее вследствие этого усложнение структуры может быть оправдано упрощением конструкции запоминающего устройства и вычислителя рангов, обусловленным сокращением динамического диапазона и однопол яркостью поступающих с выхода преобразователя элементов выборки. Поэтому следует ожидать приблизительно равных аппаратурных затрат при технической реализации ранговых и знаково-ранговых обнаружителей.

Существенное снижение объема аппаратуры по сравнению с ранговыми изнаково-ранговыми обнаружителями может быть достигнуто при использовании знаковых обнаружителей вследствие упрощения структуры, связанного с исключением запоминающего устройства, вычислителя рангов и нелинейного преобразователя.

Ранговые обнаружители фиксируют уровень ложных тревог при действии помехи с заданным или неизвестным значением постоянной составляющей и произвольным типом распределения из непараметрического класса Знаково-ранговые обнаружители обеспечивают постоянство вероятности ложной тревоги при действии помехи с известным значением постоянной составляющей и произвольным типом плотности распределения из непараметрического класса симметричных плотностей 90 6 Непараметрические свойства знаковых обнаружителей имеют место в более широком по сравнению с классе распределений, медиана которых равна 1/2 [1].

7.3.1. Асимптотическая эффективность

Пусть состоятельные обнаружители, используемые в одинаковых условиях и основанные на асимптотически нормальных статистиках соответственно; при этом параметры предельных распределений статистики равны: (0, а?) при гипотезе и при альтернативе, а статистики гипотезе и при

альтернативе. Асимптотическая относительная эффективность обнаружителя по отношению к обнаружителю характеризуется коэффициентом [1, 107]

Если статистики при справедливости гипотезы имеют предельные -распределения с одинаковым числом степеней свободы а при справедливости альтернативы — нецентральные распределения с тем же числом степеней свободы и параметрами нецентральности соответственно, то коэффициент асимптотической относительной эффективности [107]

Асимптотической эффективностью обнаружителя К называется асимптотическая относительная эффективность этого обнаружителя по отношению к обнаружителю, асимптотически оптимальному для рассматриваемой задачи обнаружения. Очевидно, что асимптотическая эффективность равна единице, если К — асимптотически оптимальный обнаружитель, и меньше единицы в других случаях.

Если значения асимптотической эффективности обнаружителей в определенных условиях, то асимптотическая относительная эффективность обнаружителя по отношению к обнаружителю в тех же условиях составит

Можно показать [107], что применение обнаружителя имеющего в определенных условиях функционирования асимптотическую эффективность р, вместо оптимального для этих условий обнаружителя ведет к таким же потерям в значении вероятности обнаружения, как и замена сигнала на сигнал при использовании оптимального обнаружителя.

Во многих случаях асимптотическая эффективность может рассматриваться как предел отношения объемов выборок, используемых оптимальным обнаружителем и обнаружителем К для достижения одной и той же вероятности обнаружения D при прочих равных условиях [1, 107].

Рассмотрим ситуацию, в которой фактически принимаемый сигнал отличается от ожидаемого сигнала определяющего выбор весовых коэффициентов в алгоритмах обнаружителей, а тип плотности фактически действующей помехи отличается от типа плотности ожидаемой помехи , определяющего характеристику нелинейного преобразователя.

Степень подобия ожидаемого и принимаемого детерминированных сигналов будем характеризовать коэффициентами корреляции

если сигналы s и s удовлетворяют условиям (7.6), (7.7) и , и

если сигналы s и s удовлетворяют условиям (7.24), (7.25) и

Степень близости плотностей ожидаемой и фактически действующей помех будем характеризовать коэффициентом корреляции

где - -функции, соответствующие плотностям соответствующие этим плотностям значения количества информации Фишера.

Пусть ранговый обнаружитель (7.15), асимптотически оптимальный для детерминированного сигнала s и помехи с плотностью W, используется для обнаружения сигнала s на фоне помехи с плотностью Полагая, что условия § 7.1 для сигнала s удовлетворяются и, кроме того, можно показать на основании результатов [1], [107], что распределение статистики рангового обнаружителя будет асимптотически нормальным с параметрами при гипотезе и , а при альтернативе; при этом

Обнаружитель вида (7.15), асимптотически оптимальный для сигнала s и помехи с плотностью w, имеет предельное нормальное распределение статистики с параметрами при гипотезе и при альтернативе. Из (7.14) следует

Используя соотношения (7.37), (7.43) и (7.44), получаем:

где . Полученные выражения определяют асимптотическую эффективность и характеристики обнаружения рангового обнаружителя детерминированного сигнала, асимптотически оптимального для сигнала s и помехи с плотностью W, при его использовании для обнаружения сигнала s на фоне помехи с плотностью

Аналогично можно показать, что асимптотическая эффективность и характеристики обнаружения знаково-рангового обнаружителя, асимптотически оптимального для детерминированного сигнала s и помехи с плотностью ПРИ его использовании для обнаружения сигнала s, удовлетворяющего ограничениям § 7.2, на фоне помехи с плотностью также определяются выражениями (7.45) и (7.46) при если .

Рассмотрим далее ранговый обнаружитель (7.21), асимптотически оптимальный Для задачи обнаружения квазидетерминированного сигнала (7.16) на фоне помехи с плотностью Предположим, что этот обнаружитель используется для обнаружения другого квазидетерминированного сигнала

где функции удовлетворяют тем же ограничениям, что и функции

Введем коэффициенты корреляции:

В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем функций, для которых

Используя результаты вычислений параметров предельных распределений статистик обнаружителей квазидетерминированного сигнала (см. § 7.1, 7.2) с учетом соотношений (7.48), (7.49) и (7.50), можно показать, что асимптотическая эффективность обнаружителей квазидетерминированного сигнала в рассматриваемой ситуации будет определяться выражением

а характеристики обнаружения — выражением

В (7.51) и (7.52) следует положить для рангового и для знаково-рангового обнаружителей.

Заметим, что мы исключили из рассмотрения ситуации, в которых Примеры таких ситуаций легко привести. В частности, для детерминированных сигналов s и коэффициент корреляции . В [268] вычислен отрицательный коэффициент корреляции , для немонотонных -функций, соответствующих плотностям W и .

При отрицательных коэффициентах корреляции рассмотренные обнаружители могут быть смещенными и несостоятельными; при этом

вероятность обнаружения оказывается меньше вероятности ложной тревоги и с ростом сигнала стремится к нулю. Очевидно, что вычисление асимптотической эффективности обнаружителей в подобных ситуациях теряет смысл.

Подставив значения -функций из (7.32), (7.34) и (7.36) в (7.42), с учетом (7.45) можно показать [270], что асимптотическая эффективность обнаружителей типа Ван дер Вардена, типа Вилкоксона и знакового составит соответственно

Эти выражения характеризуют асимптотическую эффективность ранговых обнаружителей при и знаково-ранговых — при

В частности, для гауссовой помехи с плотностью (7.31)

Подстановка этих значений в (7.53), (7.54) и (7.55) позволяет вычислить асимптотическую эффективность обнаружителей типа Ван дер Вардена, типа Вилкоксона и знакового; при значение асимптотической эффективности составляет соответственно , что согласуется с ранее известными результатами, полученными для частных видов указанных обнаружителей [1].