1.2.2. Сложные сигналы с несколькими неизвестными параметрами

Приведенные выше результаты получены в предположении, что сигнальная функция имеет лишь один ярко выраженный максимум. Однако во многих практических приложениях широкое применение находят последовательности импульсов и сложные сигналы, модулированные по амплитуде и фазе [27]. Для этих сигналов характерны сигнальные функции, - обладающие кроме главного максимума при заметными побочными максимумами (боковыми лепестками). Рассмотрим влияние побочных максимумов сигнальной функции на эффективность обнаружения сигнала [38].

Пусть сигнальная функция имеет максимум в точках . Сигнальную функцию в этих точках обозначим

Очевидно, всегда . В дальнейшем будем рассматривать только класс функций в точках максимумов которых гауссовская кривизна положительна. Для такой сигнальной функции в отсутствие сигнала по-прежнему справедливо (1.55), поэтому для расчета вероятности ложной тревоги можем использовать (1.62).

При наличии полезного сигнала всю априорную область , в которой формируется выходной сигнал приемника максимального правдоподобия разобьем на две подобласти . Как и ранее, к отнесем ту часть области , в которой . Следовательно, при определении вероятности пропуска сигнала (1.64) вероятность можно рассчитывать по (1.66).

Рассмотрим возможности определения когда сигнальная функция имеет максимум. Разобьем подобласть на подобластей таких, что в каждой из них находится лишь один максимум сигнальной функции. Обозначим через абсолютный максимум при наличии сигнала и . Тогда

Учитывая, что вероятностью появления более чем одного максимума в каждой из подобластей можно пренебречь, при больших отношениях сигнал-шум приближенно имеем

Следовательно, в рассматриваемом приближении гауссовские случайные величины, с вектором средних значений

и корреляционной матрицей

Используя известное выражение для многомерной гауссовской плотности вероятности, находим, что

а знак обозначает транспонирование. Аналитически интеграл в (1.83) удается вычислить лишь при числейиые методы оказываются малоэффективными уже при . Поэтому представляют интерес методы приближенного вычисления . Некоторые такие методы рассмотрены в [23], а в [16] предложено пренебречь статистической зависимостью величин использовании этого подхода

где интеграл вероятности (1.76).

Можно также получить верхнюю границу для Обозначим

Всегда при имеем . Эта верхняя граница может быть рассчитана по (1.83) при замене N на k. Так как вычисления несколько упрощаются. Наиболее простую верхнюю границу получаем при

При обнаружении сигнала приемником максимального правдоподобия наличие побочных максимумов у сигнальной функции приводит к уменьшению вероятности пропуска. Поэтому в качестве несколько более точной, чем (1.86), верхней границы для вероятности пропуска можно использовать (1.72). Таким образом, наличие побочных максимумов у сигнальной функции приводит лишь к изменению вероятности

Рис. 1.4. Влияние побочных максимумов на вероятность пропуска сложного сигнала

Для иллюстрации рассмотрим простой пример. Пусть сигнал содержит один неизвестный параметр, а сигнальная функция имеет лишь два побочных максимума величиной Тогда вектор средних значений случайных величин равен а элементы матрицы (1.82) запишутся как

Для большинства сигнальных функций при этом можно считать . Полагая, что производится асимптотически байесовское обнаружение (1.19), т. е. из (1.83) получаем

а приближенная формула (1.84) принимает вид

Расчет вероятности пропуска с помощью асимптотически точной формулы (1.87) показывает, что изменение побочного максимума от 0 до 0,7 вызывает изменение не более чем При этом с ростом отношения сигнал-шум влияние побочных максимумов на характеристики обнаружения уменьшается.

Зависимость рассчитанная по формуле (1.87), при представлена на рис. 1.4 кривой 1. Там же кривыми 2—5 представлены зависимости рассчитанные по приближенной формуле (1.88) для значений соответственно. Штрихами на рис. 1.4 нанесена верхняя граница для рассчитанная по (1.72) при . Из рис. 1.4 следует, что, хотя приближенная формула (1.88) [16] частично учитывает наличие побочных максимумов сигнальной функции, она приводит к заметно большей погрешности, чем формула (1.72), выведенная в предположении об отсутствии побочных максимумов.