4.3.2. Последовательное обнаружение сигнала при неизвестной мощности шума и отсутствии классифицированных обучающих выборок

В данном разделе рассматривается последовательное обнаружение сигнала на фоне гауссовских помех неизвестной мощности в случае, когда получение классифицированной обучающей выборки невозможно. При такой постановке задачи для обнаружения сигнала используются статистики, родственные -статистике Стьюдента.

В задачах с однородными выборками могут применяться упрощенные последовательные процедуры с малым числом управлений ходом наблюдения [154]. Одной из наиболее известных вырожденных последовательных процедур, использующих однократную коррекцию объема выборки, является двухвыборочный тест Ч. Стейна [174]. Этот тест предназначен для проверки гипотезы о значении среднего а нормальной выборки с неизвестной дисперсией (задача Стьюдента) и является инвариантным относительно

Тест Стейна оперирует независимой выборкой из нормальной совокупности Первоначально используется выборка фиксированного объема по которой рассчитывается выборочная дисперсия [171]

Далее определяется полный объем выборки n:

где целая часть числа константа, заранее выбираемая исходя из желательного вида характеристики обнаружения (мощностной функции, см. ниже). После получения дополнительных выборочных значений по выборке объема рассчитывается решающая статистика

Статистика d имеет распределение Стьюдента степенью свободы [88]. Гипотеза отклоняется, если где порог выбирается из условия . Здесь — уровень значимости для двусторонней альтернативы.

Характеристика обнаружения (мощностная функция)

не зависит от . В силу того, что распределение Стьюдента для является четным унимодальным с вершиной в начале координат, эта характеристика имеет минимум, равный при соответствующем гипотезе . Таким образом, критерий Стейна является несмещенным и инвариантным к значениям параметра .

Проверка статистики Т на условие , где , дает тест на проверку гипотезы против односторонней альтернативы . При этом характеристика обнаружения .

Распределение вероятностей значений случайной величины для теста Стейна оказывается зависящим от параметра и определяется с помощью таблиц -распределения в соответствии с выражениями

Задача оптимизации объема первой выборки критерия Стейна рассматривалась в [175, 176]. Возможно также отыскание экстремума одного из параметров задачи: при условии, что остальные параметры ограничены некоторыми числами. Например, может отыскиваться минимум при условии Способы решения таких условно-экстремальных задач, основанные на методе множителей Лагранжа, рассмотрены в [154]. Там же показано, что при существовании функции Лагранжа с положительными множителями условный экстремум соответствует минимуму среднего риска для некоторой байесовской задачи.

В ряде работ [98, 177, 178 и др.] предложены и исследованы различные варианты использования статистик Стьюдента и Стейна в многошаговых последовательных процедурах для проверки гипотезы о среднем нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Так, инвариантный к параметру о последовательный критерий может быть построен, если на каждом шаге эксперимента сравнивать с вальдовскими порогами отношение правдоподобия для статистик, вычисленных по полученной к этому шагу выборке. Здесь соответственно центральное и нецентральное распределения Стьюдента с степенью свободы. Однако при вычислении возникает трудность, связанная с тем, что параметр нецентральности этого распределения содержит неизвестный параметр . Для преодоления этой трудности в [98] предлагается в качестве использовать — максимальное априорно ожидаемое значение этой величины. При этом построенный критерий оказывается минимаксным, и возникают потери в средней длительности процедуры, связанные с излишне осторожным выбором .

В [98, 179] предлагается компенсировать эти потери уменьшением в функции номера шага и случайной величины абсолютного значения нижнего порога В для . Показано, что при малых отношениях сигнал-шум такой способ приводит к небольшому изменению вероятности пропуска и заметному выигрышу в среднем числе шагов последовательного анализа при решении в пользу гипотезы по сравнению со случаем постоянных порогов.

Другой способ исключения неизвестного параметра а состоит в использовании на каждом шаге последовательного анализа некоторой обучающей выборки для его оценки [98]. При этом по результатам наблюдений может быть вычислена выборочная дисперсия Затем по выборке случайного объема образуется статистика Стьюдента—Стейна . На этом один этап наблюдения завершается. Аналогичная последовательность операций производится на следующих этапах. Полученные статистики номер этапа) имеют при гипотезе центральное распределение Стьюдента степенью свободы, а при альтернативе — нецентральное распределение с параметром нецентральности . С учетом независимости статистик критерий может строиться на основе сравнения с вальдовскими порогами логарифма отношения правдоподобия

Рассмотренный способ может использоваться при больших объемах обучающей выборки и сохраняет инвариантность не только при постоянной величине неизвестного параметра, но и при изменении о на разных шагах последовательной процедуры. В [98] показано, что при средний объем выборки такой процедуры близок к длительности последовательного анализа при известном параметре .