4.2.2. Методы расчета характеристик последовательного обнаружения

Рассмотрим параметрическую задачу различения статистических гипотез, в которой распределения отличаются только значением некоторого параметра а. При обнаружении сигнала

в качестве такого параметра, как правило, может быть выбрано от но шение сигнал-шум. Тогда пшотезе об отсутствии сигнала соответствует распределение а альтернативе случаю наличия сигнала с расчетным превышением над шумом распределение

Всюду ниже в задачах обнаружения сигнала на фоне гауссовского шума под величиной а понимается отношение сигнал-шум по напряжению:

где амплитуда сигнала; а — стандартное отклонение помехи.

Фактически при наличии сигнала значение параметра а может отличаться от расчетных значений 0 и . Поэтому представляет интерес зависимость мощности последовательного критерия от фактического значения параметра а или отношения , т. е. зависимость называемая характеристикой обнаружения. Одновременно с мощностью D при изменении параметра а меняется и средняя длительность последовательной процедуры, т. е.

Рис. 4.3. Характеристика обнаружения и средняя длительность последовательной процедуры

Типичный вид характеристик представлен на рис. 4.3. Отметим характерный максимум зависимости называемый резонансом длительности, возникающий в некоторой точке . В случае симметричных порогов резонанс длительности наступает при когда решающая статистика совершает случайные блуждания между порогами, не имея регулярного «сноса» к одному из них. При несимметричных порогах резонансу длительности соответствует значение а, при котором имеется некоторый «снос» к более удаленному порогу.

Обратим внимание, что, хотя известны примеры, когда средняя длительность последовательной процедуры в точке резонанса оказывается больше, чем для эквивалентной по надежности непоследовательной процедуры, - в большинстве представляющих практический интерес задач обнаружения критерий Вальда во всем диапазоне значений по крайней мере, не уступает по эффективности однопороговым критериям [87].

Характеристика обнаружения последовательного критерия для проверки гипотезы против альтернативы может быть построена с помощью исследованной Вальдом [149] оперативной характеристики этого критерия Методы

точного расчета оперативной характеристики и зависимости разработаны Вальдом для следующих случаев:

1. При возможности пренебрежения эффектом перескока решающих порогов в момент принятия решения, реализующейся в случае различения близких гипотез да

В случае, когда может принимать только конечное число значений, кратных постоянному положительному числу

В общем случае Вальдом указаны лишь верхняя и нижняя оценки для

В задачах обнаружения средних и сильных сигналов, где эффектом перескока решающих порогов пренебречь нельзя, а аналитические методы расчета зависимостей недостаточно разработаны, с успехом могут применяться приближенные и численные методы, среди которых следует отметить метод пошагового вычисления вероятностей выхода решающей статистики за пороги и метод статистического моделирования (метод Монте-Карло). Объем вычислений при использовании того и другого методов быстро убывает с ростом уровня расчетного сигнала

В ряде задач расчета и проектирования последовательных обнаружителей могут представлять интерес также такие их характеристики, как функция распределения вероятностей числа шагов последовательной процедуры при наличии и отсутствии сигнала распределение накопленного значения решающей статистики и др. Аналитические методы расчета этих характеристик разработаны для отдельных частных случаев (см., например, [161]). В общем случае эти характеристики также определяются путем приближенных вычислений.

Перечисленные аналитические и численные методы расчета рассматриваются ниже подробнее.

Случай близких гипотез. Вальдом [149] показано, что при возможности пренебречь перескоком решающих порогов

и, следовательно,

Здесь ненулевой корень уравнения

(При достаточно слабых ограничениях на вид функции такой корень является единственным [149].)

При когда по определению из (4.8) и (4.9) можно найти . Для некоторого значения параметра

при котором существует только нулевое решение (4.9) , раскрывая неопределенность в (4.7) и (4.8), легко получить

где

Для слабых сигналов в качестве приближенного решения (4.9) может быть принята величина [152]

где а определяется выражением (4.6).

Средняя длительность последовательного анализа

Для слабых сигналов справедливо приближение

В точке , где (а = 0, согласно (4.11) ). При этом [149, 162]

В случае эта точка соответствует «резонансу длительности».

При сильно различающихся требованиях к вероятностям ошибок первого и второго рода пороги последовательной процедуры несимметричны: при

при

Для этого случая Вальдом 1149] исследована характеристическая функция числа шагов последовательной процедуры , из которой при нормальном распределении накапливаемых значений решающей статистики 2 получена аппроксимация распределения длительности последовательного анализа, имеющая следующую форму:

где

- плотность распределения Вальда, табулированного в [163]. Параметр с этого распределения определяется величиной конечного порога процедуры:

где

— дисперсия.

В случае слабых сигналов, когда велики, распределение Вальда хорошо аппроксимирует и при произвольном распределении 2, что придает ему более универсальный характер. Практически в задачах обнаружения сигнала распределение Вальда дает удовлетворительную точность при и решающих порогах, различающихся по абсолютному значению в несколько раз.

В асимптотике (с ростом с) величина становится нормальной . При имеем При фиксированном с и увеличении у плотность при плотность .

Приведенные выражения дают возможность определить основные характеристики вальдовской процедуры последовательного анализа при обнаружении слабых сигналов.

Случай дискретных приращений решающей статистики, кратных постоянному числу.

Расчетные соотношения, полученные Вальдом для случая приращений решающей статистики, кратных постоянному положительному числу, могут быть непосредственно применены к задачам последовательного обнаружения сигналов, когда накопление решающей статистики производится в цифровой форме. Цифровое накопление решающей статистики предполагает ее предварительное квантование. Методы квантования могут быть различны, и, в частности, при большом динамическом диапазоне сигналов и помех может использоваться сетка из многих неравномерно размещенных порогов квантования. Однако во всех случаях накапливаемые в цифровой форме значения решающей статистики оказываются кратными младшему разряду ее цифрового представления.

Будем предполагать, что единица младшего разряда соответствует приращению решающей статистики на величину d. При этом все значения решающей статистики, накапливаемые в памяти, кратны d. Ниже, оперируя квантованными значениями , будем полагать

Пусть весь диапазон значений z разбит на интервалы квантования причем попаданию z в интервал соответствует квантованная величина , где i — целое число. Обозначим вероятность события через Тогда распределение задается совокупностью имеющей место при рассматриваемом отношении сигнал-шум . Будем полагать, что все возможные i удовлетворяют условию , где — положительные целые числа. Через обозначим накопленные значения квантованной решающей статистики в момент принятия решения на шаге последовательной процедуры.

Величина удовлетворяет следующему тождеству Вальда

где — производящая функция моментов величины z. При весьма слабых ограничениях на свойства распределения , налагаемых условиями леммы Вальда [149], существует единственное действительное значение при котором При этом (4.16) принимает вид

Условия (4.17) и позволяют найти распределение Суммируя затем вероятности соответствующие превышению верхнего порога, легко ттолучить значение характеристики обнаружения для рассматриваемого значения а. Ниже описывается методика расчета этих величин.

Обозначим через где натуральные числа, возможные значения расположенные в порядке возрастания, через вероятности Множество состоит из целых чисел

а множество соответствующих вероятностей есть

Здесь наименьшее целое число, не меньшее, чем А, а наибольшее целое число, не большее, чем В (А и В — решающие пороги для квантованной статистики). Общее число возможных значений составляет

Условие можно записать в виде

где Обозначая g корней этого уравнения через условие (4.17) можно развернуть в систему g линейных уравнений относительно неизвестных

Таким образом, отыскание распределения сводится к нахождению корней уравнения (4.18) и решению системы (4.19). Затем легко определяются характеристика обнаружения

и математическое ожидание числа шагов процедуры

Чтобы избежать трудностей, связанных с отысканием корней уравнения (4.18), целесообразно пользоваться методом Гиршика [149, 164]. При этом, умножая на получаем соответственно полиномы степеней g и

Поскольку в соответствии с (4.18) и (4.19) любой корень f (5) является одновременно и корнем , справедливо представление

где — вспомогательный полином степени Условие равенства коэффициентов при всех степенях s в правой и левой частях (4.22) приводит к системе линейных уравнений с таким же числом неизвестных из которой могут быть определены вероятности Таким образом, ценой увеличения числа уравнений системы (4.19) на удается избежать решения уравнения (4.18) степени

Отметим некоторые особенности полученной системы уравнений, облегчающие ее решение

Структура соотношения (4.22) такова, что из системы могут быть выделены уравнений относительно неизвестных не содержащих других неизвестных. Решением этой последней системы определяются коэффициенты . Остальные g уравнений исходной системы таковы, что все непосредственно выражаются через . Следовательно, точное решение задачи требует решения системы лишь линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов которой имеет вид

т. е. . Переменной последовательности уравнений матрица преобразуется в симметрическую. Правая часл системы представляет столбец нулей с единственной строкой, содержащей — 1.

Возможность практического использования рассмотренного метода ограничена лишь объемом вычислений, связанных с решением системы уравнений высокого порядка, который на единицу меньше числа единиц младшего разряда, размещающихся между решающими порогами.

Приводимые примеры поясняют рассмотренную методику.

Пример 1. Набор возможных значений и вероятности заданы таблицей

Заданы также , следовательно .

Из таблицы видно, что Возможные значения

Условие . Условие :

Условие (4.22):

Система уравнений 2—4 позволяет определить

Отсюда где определители

Из уравнений 1, 5—8

Легко проверить, что если удовлетворяется условие нормировки то выполняется и условие При этом

Здесь предполагается, что от зависят исходные вероятности а следовательно и

Пример 2. Распределение задано таблицей (вариант интервалов квантования, целесообразный для построения последовательного обнаружителя, работающего в диапазоне значений меняющихся от 0,5 до 5):

соответствует требованию соответствует требованию

Система 140 уравнений для определения имеет вид

Решение системы требует порядка операций умножения и деления.

Метод пошагового расчета характеристик последовательной процедуры обнаружения сигнала.

Для решения многих задач, связанных с расчетом параметров последовательных обнаружителей и последовательных процедур, представляют интерес не только характеристики обнаружения и зависимости средней длительности последовательного анализа от отношения сигнал-шум, но и распределения накопленных значений решающей статистики и длительности процедуры. Эти распределения необходимы, например, при расчете характеристик многоканальных процедур, при оценке амплитуды сигнала, обнаруженного по последовательному правилу [203], при исследовании свойств усеченных последовательных процедур и пр.

В случае, когда отношение сигнал-шум не является малым, приращение логарифма отношения правдоподобия за один шаг процедуры сравнимо с решающими порогами А и В и средняя длительность последовательной процедуры мала. При этом нормализации накопленного значения решающей статистики не происходит, а ее превышение над решающим порогом в момент принятия решения не может исключаться из рассмотрения как пренебрежимо малая величина. Отыскание характеристик последовательной процедуры в этом случае может производиться прямым расчетом вероятностей выхода на шаге накопленного значения решающей статистики за решающие пороги А и В. Такой расчет при заданных параметрах распределений помехи и смеси помехи с сигналом всегда может быть выполнен численно или методом

статистического моделирования (методом Монте-Карло). В случае удачной аппроксимации распределения для некоторых практически важных задач расчет может быть проведен аналитически [160, 161].

В общем виде вероятности выхода накопленного значения решающей статистики за пороги и распределение длительности процедуры определяются следующими соотношениями.

Пусть плотность вероятности логарифма отношения правдоподобия z на каждом шаге. Тогда вероятности пересечения порогов на первом шаге

Вероятность того, что процедура не окончится на первом шаге,

При переходе ко второму шагу процедуры плотность накопленного за первый шаг логарифма отношения правдоподобия

Здесь ненормированная плотность распределения совпадающая с на интервале .

Плотность величины , получающейся в результате двух шагов накопления, для однородной выборки определяется сверткой

Вероятности выхода величины у за пороги

а вероятность остаться между порогами, т. е. вероятность перехода к следующему шагу процедуры,

Плотность накопленной за два шага решающей статистики

где совпадает с на .

На шаге процедуры

где совпадает с на .

Итоговые вероятности пересечения порогов

Вероятность окончания процедуры на шаге

На каждом шаге накопления окончание процедуры и переход к следующему шагу образуют полную группу событий. Поэтому функция распределения длительности последовательной процедуры

где . Математическое ожидание и дисперсия длительности процедуры

Прямой расчет по (4.28)-(4.39) позволяет определить все параметры последовательной процедуры для однородной выборки. Поскольку при большом отношении сигнал-шум последовательная процедура с большой вероятностью оканчивается за малое число шагов, такой расчет оказывается не слишком трудоемким.

Ниже рассматриваются примеры применения общей методики к задачам последовательного обнаружения двух часто встречающихся на практике типов сигнала на фоне гауссовских шумов: сигнала со случайной начальной фазой и фиксированной амплитудой (нефлуктуирующего сигнала) и сигнала со случайной начальной фазой и независимо флуктуирующей от отсчета к отсчету амплитудой, имеющей рэлеевское распределение:

(шумоподобного сигнала).

В первом случае гипотезе соответствует рэлеевское, а альтернативе райсовское распределение огибающей наблюдаемого сигнала V. Решающая

статистика — логарифм отношения правдоподобия — определяется известным выражением [152]

где нормированная огибающая сигнала.

В случае шумоподобного сигнала и для гипотезы, и для альтернативы распределение нормированной огибающей является рэлеевским, а логарифм отношения правдоподобия определяется выражением

где — отношение средней мощности сигнала к мощности шума.

Пример 1. Обнаружение шумоподобного сигнала.

В общем случае, когда параметр наблюдаемого сигнала отличается от расчетного значения нормированная огибающая имеет плотность распределения

а решающая статистика, вычисляемая в соответствии с алгоритмом (4.41), имеет плотность распределения

где

Будем предполагать, что значения порогов А и В и параметра b удовлетворяют соотношениям где - некоторые целые положительные числа. Поскольку является минимальным значением логарифма отношения правдоподобия для одного отсчета сигнала, обозначает минимальное число шагов, за которое накопленная статистика может достигнуть нижнего порога В. Число к характеризует расстояние между порогами.

Рассмотрим случай больших сигналов, который характеризуется выполнением условия . Это условие справедливо при и означает, что существует вероятность пересечения нижнего порога В на первом же шаге процедуры

Применяя свертку (4.27) к распределению (4.42) и учитывая в пределах интегрирования область, где подынтегральное выражение отлично от нуля, найдем плотность для двух шагов накопления:

Здесь

Полученноераспределение в точке имеет разрыв первой производной и является ненормированным. Для получения плотности вероятности, удовлетворяющей условию нормировки, выражение (4.44) необходимо разделить на вероятность перехода ко второму шагу накопления:

Ненормированную плотность для трех шагов накопления можно получить, применяя свертку к выражениям (4.42) и (4.44). Функция имеет разрыв первой производной в точке и второй производной — в точке . Повторяя операцию свертки, для результата i шагов накопления находим:

где

Функция отлична от нуля при и имеет разрыв производных в точках Функция плотности вероятности удовлетворяющая нормировке, имеет вид

где определяется равенством (4.32). Используя можно найти рекуррентное соотношение

Начиная с шага при условии распределение накопленного значения 2 перестает менять свой характер. Действительно, если при степень полиномов за счет интегрирования повышается от шага к шагу, то при интервал , на котором полином имеет наивысшую степень k, лежит за пределами интегрирования при выполнении операции свертки и степень полинома не увеличивается.

Таким образом, при плотность величины 2 имеет вид

где

т. e. выражается линейной комбинацией Г-распределений порядка не выше Коэффициенты однако, не остаются неизменными и зависят от номера шага L. Константа С может быть определена из условия нормировки. Коэффициенты определяются из (4.48). При коэффициенты с точностью до множителя X, исключаемого при нормировке, могут быть рекуррентно выражены коэффициенты i-го шага с помощью уравнения

Приравнивая коэффициенты при равных степенях Z в правой и левой частях уравнения, получаем при

где

Здесь обозначает число сочетаний из s по .

Функция (4.52) при сходится к предельной функции . Одновременно . Предельная функция определяется

интегральным уравнением

Уравнение (4.56) с помощью равенств (4.54) сводится к системе однородных линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов эта система имеет нетривиальные решения, если существует действительное положительное собственное значение к. Собственные значения определяются из условия равенства нулю определителя системы, что приводит к уравнению степени к относительно . Аналитически решение его удается получить лишь при . Последнее условие выполняется при или при

При установившееся распределение имеет вид

При собственные значения , а собственные решения

Отсюда с помощью (4.54) вычисляются коэффициенты

Таким образом, все коэффициенты предельной функции определяются через Последний может быть отнесен в множитель С и определен из условия нормировки. При этом, поскольку по смыслу уравнения (4.56) собственное значение К представляет установившееся значение вероятности незавершения процедуры на шаге, искомой предельной функции плотности вероятности отвечает лишь то значение Я, которое лежит в интервале (0, 1) и приводит к неотрицательной при функции .

Следующий числовой пример дает представление о скорости сходимости решения к установившемуся:

Легко видеть, что, начиная с третьего шага, устанавливается структура распределения, а коэффициенты распределения четвертого шага отличаются от установившихся лишь в третьем знаке.

При сигналах меньшего уровня, для которых условие не выполняется, и характер изменения распределения накопленного значения решающей статистики от шага к шагу несколько отличается от рассмотренного выше, поскольку на первых шагах нижний порог В не формирует распределение Z. При этом до шага включительно, в отличие от (4.47), , где

при определяется (4.48).

Нормированная плотность определяется соотношением (4.49), причем вместо (4.46) и (4.50) при справедливы выражения

Начиная с -го шага накопления становится возможным пересечение нижнего порога В. При этом на всех последующих шагах минимально возможное значение Z равно В — b. Поскольку при последовательном анализе переход к следующему шагу осуществляется лишь в случае, когда Z остается между порогами, интеграл свертки в дальнейшем берется от В до .

Для шага накопления

Повторяя операцию свертки, для дальнейших шагов получаем

Здесь

при определяется выражением (4.48). Для справедливы прежние выражения, причем равна нулю при

Степень полинома увеличивается от шага к шагу при после чего интервал, на котором имеет высшую степень, выходит за пределы интегрирования при выполнении операции свертки и степень перестает повышаться. Степень полинома возрастает до шага включительно, после чего ее дальнейшее возрастание также прекращается. Таким образом, как и в случае сильных сигналов, выражается линейной комбинацией Г-распределений порядка не выше Остаются справедливыми приведенные выше выражения и способ отыскания предельного распределения.

Заметим, что наличие предельных распределений накопленного значения решающей статистики и установившихся значений вероятности незавершення процедуры означает, что для больших «функция ведет себя как убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем и, следовательно, в соответствии с (4.37)

Необходимость расчета значений близких к единице, возникает, в частности, в свйзи с расчетом длительности многоканальных последовательных процедур, где выражение (4.58) может успешно использоваться.

В случае, когда решается задача необнаружения , для значений которым соответствует вероятность незавершення процедуры существенно большая, чем вероятность ложной тревоги, модаю пренебречь наличием верхнего порога, если Это приводит к упущению рассмотренной выше методики расчета. Как показано в [160], при

где табулированная неполная Г-функция. При используя формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториалов и учитывая относительный вес слагаемых в скобке перед экспонентой, последнее выражение можно привести к простому виду

Для случая наличия сигнала на основании выражений (4.51), (4.52) можно получить формулы математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры, заканчивающейся пересечением верхнего порога

Действительно, из (4.51), (4.52) следует, что нормированная плотность распределения значений решающей статистики Z, превысивших верхний порог, независимо от номера шага имеет вид

с параметрами

Подставляя выражение в (4.4) с учетом (4.42), (4.43), получаем .

Для вычисления дисперсии найдем дисперсию вспомогательной переменной . Поскольку величины и независимы,

С другой стороны, как показано в [159]

Приравнивая (4.61) и (4.62), с учетом (4.60) находим

Полученные выражения для являются точными при произвольном отношении сигнал-шум При они переходят в вальдовские соотношения (4.15).

Пример 2. Обнаружение нефлуктуирующего сигнала со случайной начальной фазой.

Способом, подобным рассмотренному в примере 1, точное и приближенное аналитические выражения плотности могут быть получены не только для экспоненциального распределения z (Г-распределения первого порядка), но и для Г-распределений более высокого порядка, хотя выкладки при этом усложняются. Так же как и в случае шумоподобного сигнала, удается получить относительно простые приближенные выражения для случая отсутствия сигнала при и значениях , ограниченных условием Г-распределение достаточно высокого порядка может использоваться для аппроксимации распределения z в случае нефлуктуирующего сигнала. Ниже рассматривается приближенный расчет, основанный на такой аппроксимации.

В соответствии с При этом плотность z определяется выражением

Здесь функция, обратная (4.40).

При имеем при имеем . В интервале практически интересных значений функция, обратная (4.40), явно не выражается. Приближенно (4.63) можно представить первым членом ряда Лаггера. Это приводит к следующему аппроксимирующему Г-распределению:

где — полная Г-функция; параметры определяются через дисперсию и математическое ожидание

Вид плотности (4.63) и аппроксимирующих Г-распределений представлен на рис. 4.4 соответственно штриховыми и сплошными линиями. На рис. 4.5 приведены зависимости d и от

Рис. 4.4. Плотность вероятности накопленной статистики для сигнала со случайной начальной фазой

Рис. 4.5. Зависимость параметров аппроксимирующего Г-распределения от уровня сигнала

Пренебрегая наличием верхнего порога и используя (4.28)-(4.37), можно показать, что при отсутствии сигнала и

где неполная Г-функция. При с учетом асимптотического равенства

где интеграл вероятности, (4.64) преобразуется к

Используя (4.38) и (4.39), можно также получить

В качестве продуктивного приближенного метода расчета распределения длительности последовательного анализа, близкого к рассмотренному методу пошаговых вычислений, отметим развитый в [165] метод, основанный на применении результатов теории выбросов случайных процессов к случайной последовательности накопленных значений логарифма отношения правдоподобия. Ввиду трудности расчета многомерных функций распределения этой последовательности используются независимое, односвязное и двухсвязное приближения, что позволяет в ряде задач, в частности в случае шумоподобного сигнала, приближенно выразить через табулированные и элементарные функции.

Метод Монте-Карло.

Статистический эксперимент на ЭВМ является наиболее универсальным методом расчета характеристик процедур последовательного обнаружения во всех случаях, когда аналитический расчет выполнить не удается. Им целесообразно пользоваться также для проверки точности приближенных аналитических выражений и оценки справедливости сделанных при их выводе допущений. По объему необходимых вычислений этот метод с учетом высокого быстродействия современных ЭВМ является приемлемым для большинства практически интересных задач, кроме случая малого расчетного сигнала или определения вероятности очень редких событий (например, вероятности ложной тревоги порядка 10-4 — 10-8).

Общие вопросы проведения вычислений на ЭВМ методом Монте-Карло подробно рассмотрены в монографиях [166—168], а цифровому моделированию задач статистической радиотехники посвящена монография [13]. В этих источниках можно найти и обширную библиографию. Исследование характеристик последовательной процедуры методом статистического эксперимента проводилось в [152, 169, 170] и др.

Для проведения статистического эксперимента на ЭВМ составляется алгоритм вычислений, представляющий математическую модель последовательного обнаружителя. Вычисления в соответствии с этим алгоритмом осуществляются над вырабатываемой ЭВМ последовательностью случайных чисел, статистические характеристики которой выбираются так, чтобы она имитировала последовательность отсчетов принимаемого сигнала с заданными свойствами. Многократное повторение статистического эксперимента с независимыми реализациями сигнала позволяет получить эмпирические частоты, средние и распределения, которые могут использоваться в качестве оценок соответствующих характеристик последовательной процедуры.

Необходимое число опытов определяется заданной точностью результата. Так, доверительными границами для вероятности правильного обнаружения при получении оценки D из N опытов являются [171]

Здесь v определяется равенством , где — интеграл вероятности; — вероятность события т. е. доверительный уровень границ для D. Эти границы являются приближенными и достаточно надежны при условиях . Для следует несколько понизить нижнюю, а при повысить верхнюю границу доверительного интервала.

Точность оценки средней длительности последовательного анализа , которая распределена по нормальному закону, определяется ее среднеквадратическим отклонением . Вместо неизвестного может использоваться выборочная оценка этой величины определяемая в ходе статистического эксперимента. Доверительные границы для находятся при этом по таблицам распределения Стьюдента степенью свободы [171].

Вероятности окончания процедуры за шагов оцениваются эмпирическими частотами где число опытов из общего их числа которые заканчиваются на шаге . Доверительные интервалы для как и для могут оцениваться с помощью (4.65). При малых и больших длительностях последовательного анализа значения могут оказываться малыми, а для отдельных п — равными нулю даже при большом числе опытов

В случаях, когда наблюдаются значения целесообразно перейти от расчета дискретных вероятностей к определению непрерывной функции распределения длительности последовательного анализа , которая сглаживает истинную ступенчатую функцию Приближением является эмпирическая функция распределения Последняя может строиться в виде ступенчатой функции . В качестве доверительных границ для могут быть приняты , где при доверительном уровне этих границ приближенно определяется асимптотической формулой

Ниже приводится примеры алгоритмов расчета, иллюстрирующие применение метода Монте-Карло к расчету характеристик последовательного обнаружения.

Пример 1. Характеристики обнаружения шумоподобного сигнала. Параметры задачи: расчетное отношение средней мощности сигнала к мощности помехи наблюдаемое отношение решающие пороги А, В, число опытов N. Выборка предполагается независимой и однородной, помеха — гауссовской.

1. Выбирается случайное число равномерно распределенное в интервале

2. Для отношения сигнал-шум формируется случайное число распределенное по закону Рэлея:

3. В соответствии с (4.41) вычисляется логарифм отношения правдоподобия

4. Величина сравнивается с решающими порогами А и В. При принимается альтернатива при — гипотеза при пп. 1—3 повторяются, образуется которая сравнивается с порогами А и В.

Процедура повторяется, пока на некотором шаге не будет принято решение в пользу или

Вычисления по пп. 1—4 повторяются N раз. Рассчитываются эмпирические оценки число решений в пользу

Пример 2. Характеристики обнаружения нефлуктуирующего сигнала со случайной начальной фазой. Параметры задачи: расчетное отношение сигнал-шум по напряжению наблюдаемое отношение а, решающие пороги , число опытов N. Выборка предполагается независимой и однородной, шум гауссовским.

1. Выбирается пара независимых случайных чисел равномерно распределенных в интервале (0, 1).

2. Для отношения сигнал-шум а формируется случайное число [167]

распределенное по закону Райса:

3. В соответствии с (4.40) рассчитывается логарифм отношения правдоподобия для заданного

Пункты 4—5 аналогичны примеру 1.

На рис. представлены рассчитанные методом Монте-Карло характеристики обнаружения и средние длительности для сигнала с постоянной амплитудой и случайной фазой, шумоподобного сигнала, а также для сигнала с медленно — от процедуры к процедуре — флуктуирующей амплитудой. Расчет выполнен для

значений отношений сигнал-шум, отмеченных на осях абсцисс рисунков. Значения каждой из соответствующих ординат кривых получены усреднением результатов 1000 опытов. Для определения максимума при некоторых значениях а, проводился расчет в дополнительных точках.

Рис. 4.6. Характеристики и средняя длительность обнаружения для сигнала с постоянной амплитудой и случайной начальной фазой

Использовались вальдовские пороги, соответствующие (сплошные линии) и 0,9 (штриховые линии). Характеристики обнаружения сигнала с медленными флуктуациями амплитуды рассчитаны в предположении, что в качестве квазиоптимальной для этого случая используется решающая статистика, оптимальная для сигнала с постоянной амплитудой и случайной фазой.

Рис. 4.7. Характеристики и средняя длительность обнаружения для шумоподобного сигнала с рэлеевскими флуктуациями амплитуды

Флуктуации амплитуды предполагаются рэлеевскими:

Здесь — среднее значение а.

Отметим некоторые особенности полученных зависимостей.

Как следует из графиков, флуктуации сигнала влияют на характеристику обнаружения последовательной процедуры примерно так же, как и в процедуре Неймана — Пирсона: наибольшую крутизну имеет характеристика обнаружения сигнала с постоянной амплитудой, наименьшую — медленно флуктуирующего сигнала.

Рис. 4.8. Характеристики и средняя длительность обнаружения для сигнала с медленными рэлеевскими флуктуациями амплитуды при использовании обнаружителя, оптимального для сигнала с постоянной амплитудой и случайной начальной. фазой

Энергетические потери из-за медленных флуктуаций (по сравнению с нефлуктуирующим сигналом) зависят от требуемой вероятности обнаружения и расчётного отношения сигнал-шум (для D = 0,5 потери составляют 1,5-3, для D = 0,9 достигают ).

Рис. 4.9. Зависимость нижнего порога от уровня сигнала для сигнала со случайной начальной фазой

Средняя длительность последовательной процедуры для сигналов с расчетной мощностью мало зависит от типа флуктуаций. В точке «резонанса» длительность наблюдения нефлуктуирующего и быстрофлуктуирующего сигналов примерно в 2 раза превышают длительность обнаружения расчетного сигнала, медленные флуктуации приводят к усреднению зависимости поэтому ее максимум менее выражен. При гипотезе среднее время принятия решения для нефлуктуирующего и медленно флуктуирующего сигналов одинаково, поскольку алгоритм их обнаружения, как уже указывалось, строится на основе одной и той же решающей статистики . Для быстрофлуктуирующего сигнала длительность оказывается больше, чем для нефлуктуирующего, и это различие нарастает с увеличением отношения сигнал-шум, что связано с большей дисперсией решающей статистики .

Эффект превышения порога в момент принятия решения при приводит к заметному расхождению между фактической вероятностью

правильного обнаружения для и расчетной величиной соответствующей вальдовскому порогу. Методом Монте-Карло могут быть найдены значения нижнего порога последовательной процедуры, обеспечивающие при расчетную величину . На рис: 4.9 представлена зависимость от порогов В, обеспечивающих и 0,5 для сигнала с фиксированной амплитудой и случайной начальной фазой. Использование скорректированного нижнего порога приводит при к сокращению средней длительности процедуры необнаружения в раза. При и а порядка нижний порог приближается к верхнему и последовательная процедура вырождается в однопороговую с принятием решения на первом же шаге.

Рис. 4.10. Средняя длительность последовательного обнаружения: расчет по (4.38), (4.64); эксперимент

Рис. 4.11. Дисперсия длительности последовательного обна ружения: расчет по (4.39), (4.64); расчет по (4.15); эксперимент

Отметим в заключение данного раздела возможность экспериментальной проверки методом Монте-Карло точности приближенных аналитических выражений для различных характеристик последовательного анализа. В качестве примера на рис. 4.10, 4.11 представлены зависимости математического ожидания и дисперсии длительности последовательной процедуры от отношения сигнал-шум, рассчитанные по формулам (4.15) и (4.64) и полученные моделированием на ЭВМ,