7.5. Двухвыборочные непараметрические обнаружители

На практике возникают ситуации, в которых для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала можно использовать несколько выборок, отличающихся друг от друга определенными известными свойствами. В настоящем разделе рассмотрены двухвыборочные обнаружители, использующие для принятия решения две выборки, элементы которых характеризуются одинаковыми статистическими свойствами шумов. Если сигнал может содержаться только в одной выборке, именуемой в дальнейшем сигнальной, а вторая выборка, именуемая шумовой, содержит только значения шума, то соответствующий этим выборкам двухвыборочный обнаружитель будем называть одноканальным. В радиолокационных и связных системах для формирования сигнальной и шумовой выборок можно использовать фиксацию значений выходного колебания одного приемника, при этом сигнальная выборка формируется в моменты времени, соответствующие ожидаемому сигналу, а шумовая — на интервалах, в которых сигнал заведомо отсутствует.

Если сигнал может присутствовать одновременно в обеих выборках, то соответствующий двухвыборочный обнаружитель будем называть двухканальным.

Задачи с двумя сигнальными выборками характерны для радиоастрономии, геофизики, навигации и гидроакустики и обычно связаны с использованием разнесенных в пространстве приемных систем.

Одноканальные двухвыборочные обнаружители.

Пусть сигнальная выборка

содержит элементы , вида (7.4), а шумовая —

элементы

где случайные величины имеют те же статистические характеристики, что и случайные величины в выборке (7.4).

Представляет интерес выяснить, при каких условиях и в какой степени использование наряду с сигнальной выборкой шумовой

выборки позволяет улучшить качественные показатели непараметрических обнаружителей.

Для этого сформируем объединенную выборку

где при при , и введем сигнал s, определяемый выражением

Очевидно, что решение о наличии сигнала s в выборке (7.91) эквивалентно решению о наличии сигнала s в объединенной выборке (7.93).

Задача обнаружения сигнала s в выборке (7.93) полностью соответствует задачам обнаружения, рассмотренным ранее, а определенные в § 7.1, 7.2 асимптотически оптимальные непараметрические алгоритмы могут быть непосредственно использованы для обнаружения сигнала s, при этом они будут обладать свойствами, установленными в § 7.3.

Так, если К и К — ранговые или знаково-ранговые обнаружители, асимптотически оптимальные по отношению к сигналам s и s соответственно, действующие в одинаковых условиях, то эти обнаружители имеют одинаковую структуру, при этом обнаружитель К оказывается несколько сложнее К только вследствие большего объема выборки, подлежащей обработке. Сравнение свойств обнаружителей К и приводит к следующим выводам. Если К и К — знаково-ранговые обнаружители, то они имеют одинаковые характеристики обнаружения и значения эффективности как при соответствии, так и вызванном какими-либо отклонениями несоответствии принимаемого сигнала и плотности действующей помехи ожидаемым моделям. Если сигнал не содержит постоянной составляющей, то этот вывод остается справедливым и по отношению к ранговым обнаружителям .

Очевидно, что в указанных условиях переход от алгоритма К, основанного только на сигнальной выборке, к алгоритму использующему кроме сигнальной еще и шумовую выборку, не дает никакого выигрыша в эффективности или каких-либо других преимуществ и поэтому является нецелесообразным. Однако переход от рангового алгоритма К к ранговому алгоритму К может оказаться полезным, если сигнал s содержит постоянную составляющую Действительно, в соответствии с (7.58) потери эффективности рангового обнаружителя К, связанные с наличием у сигнала ненулевой постоянной составляющей, характеризуются коэффициентом .

Используя определение (7.94) , можно вычислить отношение мощности постоянной составляющей сигнала s к средней мощности этого сигнала и найти далее значение коэффициента р, характеризующего снижение эффективности обнаружителя К, обусловленное действием постоянной составляющей. В результате получим

Поскольку при — целые положительные числа, то из (7.95) следует . Более того, если при , то при любых значениях . Следовательно, обнаружитель К оказывается эффективнее обнаружителя К благодаря снижению потерь, связанных с наличием у сигнала s ненулевой постоянной составляющей.

Если объем помеховой выборки по сравнению с объемом сигнальной неограниченно возрастает, то потери эффективности (из-за наличия у сигнала s постоянной составляющей) при использовании обнаружителя стремятся к нулю независимо от значения эффективности обнаружителя К, использующего только сигнальную выборку.

Адаптивные одноканальные двухвыборочные обнаружители.

Рассмотрим вновь ранговый или знаково-ранговый обнаружитель К, использующий сигнальную выборку совместно с шумовой и предположим, что этот обнаружитель является асимптотически оптимальным для некоторых сигнала s и плотности шума W. Примем далее, что плотность фактически действующего шума отличается от W (при этом, конечно, для рангового и для знаково-рангового обнаружителей). Тогда эффективность обнаружителя К количественно выразится квадратом коэффициента корреляции определяемого соотношением (7.42), и может оказаться существенно меньше единицы.

Потерю эффективности, вызываемую отклонением плотности фактически действующего шума от предполагаемого, можно уменьшить. Для этого достаточно характеристику нелинейного преобразователя рангового алгоритма (7.15) или знаково-рангового алгоритма (7.26) привести в соответствие с плотностью фактически действующего шума. Эта идея может быть реализована путем построения адаптивного обнаружителя, который позволяет определять функции распределения шумов на основе анализа шумовой выборки, вычислять -функции по полученным эмпирическим распределениям и подстраивать характеристику нелинейного преобразователя согласно результатам вычислений

На рис. 7.6 представлена структурная схема адаптивного обнаружителя; эта схема предполагает использование рангового алгоритма и может быть получена из структурной схемы рис. 7.1 путем добавления элементов адаптации. Аналогично может быть построена структурная схема адаптивного знаково-рангового алгоритма из структурной схемы рис. 7.2.

Напомним, что эмпирическая интегральная функция распределения может быть определена по выборке (7.92) с помощью соотношения [1]

где функция единичного скачка.

Если одномерная интегральная функция распределения случайных величин одинаковая для всех , то при

эмпирическая функция распределения сходится по вероятности к функции Если характеристика нелинейного преобразователя соответствует эмпирическому распределению, то из сходимости распределений следует, что при адаптивный ранговый обнаружитель со структурой, представленной на рис. 7.6, оказывается асимптотически оптимальным при действии помехи с любой плотностью Это утверждение остается справедливым и по отношению к адаптивному знаково-ранговому обнаружителю, если только плотность действующего шума

Рис. 7.6. Структурная схема адаптивного двухвыборочного РО

В качестве другого примера применения шумовой выборки для целей адаптации рассмотрим возможности использования знаковорангового алгоритма (7.26) для обнаружения сигнала s на фоне шума с известным распределением W, симметричным относительно неизвестного среднего значения . Как отмечалось в п. 7.3.2, непосредственное использование знаково-рангового алгоритма в этих условиях невозможно из-за утраты непараметрических свойств. При наличии помеховой выборки неизвестное среднее значение можно оценить, вычислив выборочное среднее которое при сходится к неизвестному среднему значению

Введем вместо сигнальной выборки модифицированную выборку

Можно заметить, что эта выборка вполне соответствует допущениям, принятым в § 7.2. Следовательно, при знаково-ранговый алгоритм (7.26), использующий выборку (7.97), при выборе функции нелинейности соответственно плотности действующего шума будет асимптотически оптимальным алгоритмом, непараметрическим в классе при этом асимптотическая оптимальность и непараметрические свойства будет сохраняться при любых значениях постоянной составляющей шума.

Двухвыборочные двухканальные обнаружители.

Перейдем к рассмотрению двухканальных обнаружителей, использующих две сигнальные выборки:

Положим, что элементы обеих выборок при отсутствии сигнала образуют совокупность независимых случайных величин с одинаковыми-одномерными плотностями распределения, а сигналы, которые могут присутствовать в выборках, имеют известную (необязательно одинаковую) форму и аддитивно взаимодействуют с шумами, при этом сигналы и шумы удовлетворяют всем введенным ранее ограничениям. Объединяя обе сигнальные выборки в одну

где при вновь приходим к рассмотренным ранее задачам обнаружения, что позволяет непосредственно устанавливать структуру асимптотически оптимальных непараметрических алгоритмов и использовать общие результаты анализа свойств этих алгоритмов в различных ситуациях.

Если мощности переменных составляющих сигналов в выборках 7.98) и (7.99) не равны нулю, то асимптотическая мощность рангового обнаружителя действующего по объединенной выборке (7.100), всегда будет превосходить асимптотическую мощность рангового обнаружителя К, действующего по одной из сигнальных выборок или

Аналогичное утверждение справедливо и для знаково-ранговых обнаружителей при условии, что средние мощности сигналов в выборках отличаются от нуля.

В приложениях двухканальные двухвыборочные обнаружители могут применяться для обнаружения стохастических сигналов, которые в настоящей главе не рассматривались. Не вдаваясь в подробности, отметим, что наличие стохастического сигнала приводит к появлению статистической зависимости между элементами выборок которая и используется для обнаружения сигнала [1].