4.2. Методы расчета характеристик последовательных процедур различения простых гипотез

4.2.1. Средняя длительность последовательного анализа Вальда для гипотезы и альтернативы

Одной из важнейших характеристик последовательной процедуры Вальда является ее средняя длительность (математическое ожидание числа шагов процедуры) в случаях . Сокращение среднего объема выборки при последовательном анализе по сравнению с выборкой, необходимой для обнаружения по критерию Неймана—Пирсона, является одним из побуждающих мотивов к внедрению этого решающего правила в различные устройства автоматического обнаружения сигналов.

Для независимой однородной выборки накопленное значение решающей статистики в момент принятия решения представляет сумму случайного числа одинаково распределенных слагаемых. Поэтому справедливы следующие соотношения для математических ожиданий [159]:

Для близких гипотез (слабого сигнала), когда перескок порогов решающе» статистикой является пренебрежимо малой величиной, можно считать, что в момент окончания процедуры величина равна А или В с вероятностями соответственно в случае в случае Поэтому

Величины определяются выражениями

Таким образом,

В [160, 161] показано, что в тех практически важных случаях, когда перескоком решающей статистики за пороги пренебречь нельзя (случаи средних и сильных сигналов), выражения (4.5) остаются справедливыми, если в их числитель ввести дополнительное слагаемое, равное математическому ожиданию превышения порогов решающей статистикой в момент окончания процедуры.

В случае равных вероятностей когда расположение решающих порогов А и В оказывается симметричным относительно нуля, выигрыш в среднем объеме выборки, обеспечиваемый последовательным критерием Вальда по сравнению с эквивалентным по вероятностям ошибок критерием Неймана—Пирсона, составляет около 2 раз [149].

В прикладных задачах требования к вероятностям и часто сильно различаются, вследствие чего расположение порогов А и В оказывается несимметричным. Так, при обнаружении радиолокационных сигналов вероятность ложной тревоги задается много меньшей вероятности пропуска сигнала

В этом случае и для причем средняя длительность процедуры при наличии расчетного сигнала приближенно равна длительности эквивалентной по вероятностям ошибок процедуры Неймана — Пирсона, а средняя длительность процедуры при отсутствии цели оказывается много меньшей. Поскольку при радиолокационном наблюдении в подавляющем большинстве элементов разрешения цели отсутствуют, выигрыш от применения последовательного анализа может достигать 5—20 раз. Приближенно он оценивается выражением