1.2.4. Узкополосный радиосигнал с одним неизвестным параметром

Рассмотрим вначале обнаружение сигнала , содержащего два неизвестных неэнергетических параметра , таких, что . Нормированную сигнальную функцию (1.14) для

двух параметров обозначим как

где — решение уравнения (1.11). Полагаем, что хотя бы для одного из параметров или X выполняется неравенство (1.68). Тогда выражения для вероятности ложной тревоги (1.62) и пропуска сигнала (1.73) принимают вид

В соответствии с определением (1.63) приведенный объем области определения параметров и равен

Величина представляет собой приведенную длину интервала при обнаружении сигнала с априори известным значением параметра , а то же самое для при априори известном значении коэффициент корреляции совместных оценок максимального правдоподобия параметров и при наличии только нормальных ошибок [27].

Согласно (1.102) в общем случае приведенный объем при обнаружении сигнала с двумя неизвестными параметрами не равен произведению приведенных длин априорных интервалов определения каждого из неизвестных параметров. При этом приведенный объем убывает с ростом коэффициента корреляции оценок этих параметров. Этот результат можно объяснить с физической точки зрения, если воспользоваться интерпретацией приведенной длины априорного интервала как величины, определяющей число различимых значений неизвестного параметра [18]. Тогда (1.102) определяет число различимых значений

двух неизвестных параметров и, естественно, это число тем меньше, чем сильнее статистическая связь между оценками этих параметров.

Из (1.100), (1.101) можно получить характеристики обнаружения узкополосного радиосигнала с неизвестной начальной фазой и неизвестным неэнергетическим параметром Узкополосный радиосигнал запишем в форме

где — несущая частота и начальная фаза, законы амплитудной и фазовой модуляции, в общем случае зависящие от неизвестного параметра

Применительно к обнаружению узкополосного радиосигнала нормированную сигнальную функцию для параметров можно представить в виде [27]

где

- нормированные квадратуры сигнальной функции, а отношение сигнал-шум

В этих формулах решение уравнения

Так как неизвестная начальная фаза определена на интервале , то . Априорный интервал определения параметра теперь примем равным . Тогда приведенный объем определяется формулой

Здесь

где

— функция, которую можно интерпретировать как огибающую сигнальной функции (1.105) [27]. Значение совпадает с приведенной) длиной априорного интервала при обнаружении радиосигнала с априори известной начальной фазой (1.89), так как для радиосигнала с известной начальной фазой Поскольку

то приведенная длина априорного интервала при обнаружении радиосигнала с неизвестной начальной фазой всегда не превышает Физически этот результат очевиден. Действительно, трудно представить, что незнание начальной фазы радиосигнала приведет к увеличению числа различимых значений неизвестного параметра Величина представляет собой коэффициент корреляции между оценками максимального правдоподобия параметра и начальной фазы Если (оценки некоррелированы), то .

Подставляя (1.108) в (1.100), (1.101), находим, что при обнаружении радиосигнала с неизвестными начальной фазой и неэнергетическим параметром вероятности ошибок равны

Оценим влияние незнания начальной фазы радиосигнала с неизвестным неэнергетическим параметром на эффективность обнаружения. Как и ранее, ограничимся рассмотрением случая . Тогда формулы для вероятности ошибок примут вид

где вероятность пропуска сигнала, все параметры которого известны (1.78). Вероятность пропуска радиосигнала с известной начальной фазой и неизвестным нёэнергетическим параметром при также совпадает с Значит, незнание начальной фазы в этих условиях изменяет только вероятность ложной тревоги.

Из (1.96) и (1.114) получаем, что при равных вероятностях пропуска сигнала отношение вероятностей ложной тревоги Для радиосигнала с неизвестной и известной начальными фазами приближенно равно

Здесь учтено, что (1.89) и (1.109) для радиосигнала совпадают. Следовательно, проигрыш в эффективности обнаружения из-за

незнания начал ьной фазы возрастает с увеличением нормированного порога и (т. е. с уменьшением требуемого уровня ложных тревог) и уменьшается с увеличением коэффициента корреляции между оценками максимального правдоподобия параметров .

Для сравнения найдем проигрыш в эффективности обнаружения из-за незнания начальной фазы, когда радиосигнал не содержит других неизвестных параметров. Для сигнала с неизвестной начальной фазой при вероятность пропуска совпадает с вероятностью пропуска радиосигнала с известной начальной фазой , а вероятность ложной тревоги [1, 29, 42]

Из сравнения (1.116) и (1.77) получаем, что при проигрыш в эффективности обнаружения известного радиосигнала вследствие незнания начальной фазы равен . Эта формула и (1.115) показывают, что при влияние неизвестной начальной фазы меньше при обнаружении радиосигнала с неизвестным неэнергетическим параметром , чем при обнаружении известного радиосигнала.

При анализе эффективности обнаружения узкополосного радиосигнала (1.104) с неизвестными значениями приближенные значения вероятностей ошибок часто ищут, предполагая, что параметр принимает одно из m дискретных значений [14, 53]. Этот подход, основанный на искусственном сведении аналоговой системы к дискретной, дает следующие приближенные выражения для вероятностей ошибок:

Здесь определяется из (1.116), а

функция Маркума [42]. Формулы (1.117) при и несколько упрощаются и принимают вид

где определяется из (1.78). Согласно (1.114) и (1.119) вероятности пропуска, рассчитанные по (1.113) и (1.117), асимптотически совпадают. Сравним результаты расчета вероятности ложной тревоги. Из (1.114) и (1.119) имеем что с точностью до обозначений совпадает с (1.97). Если для радиосигнала с неизвестной начальной фазой огибающая сигнальной функции (1.110) имеет колокольную форму, то что совпадает с (1.98).

Так же, как для сигнала с известной начальной фазой точность формул (1.112) и (1.113), в отличие от точности формул (1.117), растет с увеличением Для конечных значений вопрос о применимости полученных приближений (1.112), (1.113) мож но решить экспериментальной проверкой.