5.3.3. Флуктуирующий сигнал общего вида

Здесь мы рассмотрим методы обработки флуктуирующих сигналов общего вида при обнаружении их на фоне широкополосной негауссовской помехи.

Оптимальный тракт обработки можно построить, по крайней мере, в двух типовых вариантах: многоканальном и с оценкой сигнала. Наряду с этим в отдельных случаях возможны и другие варианты (см., например, п. 5.3.2).

Обработка с оценкой сигнала.

Алгоритм обработки с оценкой сигнала порождается рекуррентной формой отношения правдоподобия, рассмотренной в [3]. Считаем, что обнаружению подлежит сигнал известной формы имеющий флуктуирующий параметр . Принимаем простую марковскую модель флуктуаций , полагая известными плотности Заметим, что для выявления закономерностей в обработке сигналов, связанных с негауссовостью помехи, типмодели флуктуаций сигнала решающего значения не имеет. При сформулированных условиях рекуррентная форма ОП имеет вид

- апостериорная плотность вероятности параметра в такте при наличии в наблюдаемой выборке ожидаемого сигнала. В отсутствие сигнала функция теряет смысл апостериорной плотности.

Из (5.47) следует

где — некоторая оценка, или такое значение А, при котором

Имея в виду малость отношения сигнал-помеха, представим функцию в левой и правой частях соотношения (5.50) линейным разложением относительно Переход к линейному разложению связан с частичной потерей оптимальности. При этом из (5.50) получим

Таким образом, значение входящее в (5.49), можно считать оценкой параметра , сформированной по данным и экстраполированной на следующий k-й такт, обеспечивающей минимальный средний квадрат уклонения функции от действующего сигнала

Алгоритму (5.49) соответствует перестраиваемый по оптимальный обнаружитель детерминированного сигнала, который управляется блоком,

формирующим оценку Схема обработки для малого отношения сигнал-помеха с учетом результатов п. 5.3.1 показана на рис. 5.4. В практических схемах в качеству блока формирования оценки можно использовать нелинейный фильтр, вырабатывающий по максимуму финальной апостериорной вероятности или другим способом. Вопросам построения нелинейных фильтров посвящены монографии .

Рис. 5.4. Квазиоптимальный обнаружитель случайного сигнала на фоне широкополосной помехи

Многоканальная обработка.

Алгоритм многоканальной обработки получаем из (5.47), (5.48), применяя ступенчатую аппроксимацию апостериорной плотностй [221, 222]. Для этого интервал априорно возможных значений b разбиваем на ряд отрезков в пределах которых полагаем

где — априорная плотность вероятности неизвестного соответственно апостериорная и априорная вероятности попадания значений в отрезок

Подставляя (5,51) в (5.48) и интегрируя (5.48) в пределах получаем рекуррентный алгоритм формирования апостериорных вероятностей

где

- априорная вероятность перехода параметра из отрезка в текущем такте в отрезок в следующем такте; — значение из отрезка которое при небольшой величине отрезка может быть взято равным его середине; — число отрезков на которые разбит интервал априорно возможных значений .

Отношение правдоподобия выражается через апостериорные вероятности соотношением

Последнее можно представить так:

где

Алгоритмам (5.55), (5.56) соответствует многоканальная система обработки. На выходе каждого канала вычисляется пропорциональная апостериорной вероятности попадания значения в интервал . При вычислении учитываются эффекты на выходе всех каналов в предыдущем такте.

Если распределение из экспоненциального семейства, то вместо проще формировать

Однако для получения рекуррентного соотношения в этом случае необходимо в (5.56) ввести упрощение, представив ее, например, в виде

Здесь, в отличие от (5.56), при образовании выходного эффекта канала учитываются эффекты предыдущего такта не всех каналов, а только того, который образует с каналом наиболее вероятную пару. Погрешность формулы (5.58) снижается с увеличением либо отношения сигнал-помеха, либо интервала корреляции параметра , когда в сумме (экстраполированном апостериорном распределении) сильнее выражен преобладающий член.

Из (5.58) логарифмированием получаем рекуррентное соотношение для :

Последнее можно представить в нерекуррентной форме

Соотношения (5.55), (5.57), (5.60) показывают, что многоканальная система обработки содержит независимых каналов, оптимальных при обнаружении детерминированных сигналов а также устройство межканальной обработки, структура которого определяется второй суммой в (5.60). Межканальная обработка заключается в образовании в каждом такте разностей между выходными эффектами всех пар каналов, смещении этих разностей на отборе для каждого канала максимальной величины из совокупности Отбираемые для канала максимумы накапливаются и прибавляются к выходному эффекту своего канала.

Если параметр не флуктуирует, то

из соотношения (5.60) получаем

Алгоритму (5.61) соответствует многоканальный вариант устройства обработки в виде набора независимых, каналов, оптимальных при обнаружении детерминированных сигналов .

Обнаружение сигнала по набору статистик можно осуществить, сформировав ОП по формуле или приближенно по алгоритму и сравнив затем или с «порогом». Наконец, можно установить «порог» в каждом канале.

Из алгоритмов (5.59), (5.60) следует, что единственным отличием в структуре обнаружителя при негауссовской помехе по сравнению с гауссовской в случае малого отношения сигнал-помеха является нелинейный элемент, такой же, как и в обнаружителях когерентных сигналов. Однако необходимо иметь в виду, что схема НЭ — гауссовский канал, к которой приводят алгоритмы (5.59), (5.60), наиболее близка к оптимальной при медленных флуктуациях сигнала. Это условие было использовано в выводах.