Глава 7. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ОБНАРУЖИТЕЛИ СИГНАЛОВ

7.1. Ранговые обнаружители

Пусть наблюдаемый процесс представляет собой аддитивную смесь сигнала и шума вида

где v — параметр интенсивности сигнала.

Задача обнаружения состоит в проверке гипотезы об отсутствии сигнала (v = 0) против альтернативы о его наличии (v > 0).

Будем полагать, что колебание помехи представимо в форме

где — стационарный случайный процесс с нулевым средним, единичной дисперсией и одномерной плотностью распределения , а — неизвестные мешающие параметры сдвига и масштаба одномерного распределения помехи. Очевидно, что представляет собой постоянную составляющую, а — интенсивность флуктуаций колебания помехи.

Образуем последовательность дискретных выборок с независимыми элементами путем фиксациии в моменты времени значений наблюдаемого процесса:

где i — номер выборки; — число элементов в выборке при — номер элемента в выборке, .

Обозначив представим элементы выборок в форме

Пусть плотность распределения помехи лринадлежит непараметрическому классу нормированных и центрированных плотностей с конечным количеством информации Фишера

а выборочные значения сигнала удовлетворяют ограничениям

где

- постоянная составляющая сигнала в выборке.

Допущение (7.6) означает, что вклад в полную энергию переменной составляющей сигнала любого из выборочных элементов переменной составляющей стремится к нулю с ростом объема выборки, что при выполнении некоторых дополнительных условий обеспечивает асимптотическую нормальность распределений статистик при

Условие (7.7) следует из предположения об ограниченности энергии переменной составляющей сигнала при любом объеме выборки и определяет скорость стремления к нулю значений выборочных элементов переменной составляющей сигнала. Это условие позволяет исключить сингулярные решения, связанные с ростом или убыванием энергии переменной составляющей сигнала при неограниченном возрастании объема выборки.

Определим -функцию Я. Гаека соотношением

где функция, обратная интегральной функции распределения .

Свойства -функций и результаты их вычисления для ряда конкретных плотностей рассмотрены в [107, 268].

Обозначим ранги элементов выборки и образуем ранговые статистики

где ступенчатая функция, обладающая свойством

В дальнейшем будем полагать, что ступенчатые функции определяются выражением

которое справедливо, когда -функции непрерывны и ограничены на интервале (0; 1). Если эти условия не выполняются, то можно воспользоваться другими представлениями ступенчатых функций [268], которые здесь рассматриваться не будут.

Согласно результатам [268] при введенных ограничениях критическая область

обеспечивает асимптотически равномерно (относительно наиболее мощный критерий размера а для проверки гипотезы против альтернативы Постоянная определяется заданной величиной вероятности ложной тревоги и вычисляется по формуле

где функция, обратная интегралу вероятностей

Вероятность правильного обнаружения (асимптотическая мощность критерия ) составляет

Критерий (7.12) обеспечивает наибольшую мощность в классе всех возможных критериев и, следовательно, является асимптотически оптимальным критерием.

Подставив значения переменных в неравенство (7.12), учитывая (7.11) и опуская индексы получим

Выражение (7.15) при определяет общую форму структуры рангового асимптотически оптимального алгоритма обнаружения детерминированного сигнала.

На рис. 7.1 представлена структурная схема устройства, реализующего алгоритм (7.15).

Рис. 7.1. Структурная схема асимптотически оптимального РО детерминированного сигнала

Весовые коэффициенты определяемые формой ожидаемого сигнала, следует нормировать согласно условию (7.7), что всегда можно сделать для сигнала произвольной интенсивности соответствующим выбором параметра v. Характеристика нелинейного преобразователя определяется типом распределения помехи.

Соответствующие алгоритму (7.15) при характеристики обнаружения определяются выражением (7.14), в котором D дает значение вероятности правильного обнаружения; величину вероятности ложной тревоги следует рассматривать, как обычно, в качестве параметра.

Количество информации Фишера определяется только типом распределения помехи, поскольку класс SP содержит нормированные центрированные плотности. Вычисление количества информации Фишера можно проводить по (7.5) или по эквивалентной ей формуле [2681:

В частности, при нормальном распределении при логистическом и при распределении Лапласа

Рассмотрим далее задачу обнаружения квазидетерминированного сигнала, представимого в виде разложения

по ортонормированной системе функций со случайными параметрами при равномерном распределении вектора на гиперсфере в пространстве параметров

Будем полагать, что выборочные значения сигнала

где удовлетворяют ограничениям (7.6) и (7.7) и, кроме того, имеют место соотношения:

Из сферической симметрии вектора следует, что отношение правдоподобия в рассматриваемой задаче является [220] монотонной функцией модуля вектора достаточных статистик поэтому наиболее мощное решающее правило можно представить в виде

где С — постоянная. Одной из форм -мерной асимптотически достаточной статистики является ранговая статистика [269]

компоненты которой с учетом принятых допущений представим в форме

При статистика (7.20) имеет предельное -мерное нормальное распределение. Учитывая, что радиус гиперсферы в соответствии с принятыми допущениями (7.7) и (7.18) равен единице, и используя результаты [1], можно показать, что корреляционная матрица предельного распределения имеет вид

Из условия (7.17) следует, что матрица А — диагональная, причем все элементы главной диагонали в соответствии с (7.18) равны . Вектор средних равен 0 при v = 0 и составляет при v > 0.

Статистика в левой части (7.19) при имеет -распределение с степенями свободы, а при - нецентральное -распределение с l степенями свободы.

Вычисление параметров этих распределений позволяет определить постоянную С и вычислить асимптотическую мощность решающего правила (7.19).

Рис. 7.2. Структурная схема асимптотически оптимального РО квазидетерминированного сигнала

Используя результаты указанных вычислений и опуская индексы l, приведем окончательные выражения, определяющие структуру асимптотически оптимального алгоритма обнаружения квазидетерминированного сигнала и соответствующие ему характеристики обнаружения:

где — интегральная функция нецентрального -распределения с степенями свободы и параметром нецентральности . Постоянная вычисляется по фэрмуле

где — функция, обратная интегральной функции распределения , степенями свободы.

Структурная схема устройства, реализующего алгоритм (7.21), представлена на рис. 7.2.