2.2. Несмещенные правила обнаружения и различения сигналов

2.2.1. Обнаружение и различение сигналов в гауссовском шуме неизвестной мощности

Рассмотрим задачу обнаружения сигнала на фоне гауссовского шума. Наблюдаемым процессом , считаем колебание на выходе линейного тракта приемника (ЛТП) с П-образной амплитудно-частотной характеристикой и полосой пропускания . Шум на входе ЛТП полагаем белым с корреляционной функцией . Сигнал принимаем полностью известным, имеющим единичную энергию. К априорно неопределенным параметрам относим энергию принятого сигнала и спектральную плотность шума. Коэффициент передачи ЛТП полагаем равным 1.

Образуем выборку объема из отсчетов комплексной огибающей наблюдаемого процесса в моменты времени . Плотность вероятности этой выборки

где сигнальный вектор, образованный из отсчетов комплексной огибающей сигнала норма в комплексном евклидовом пространстве.

Введем полезный и мешающий параметры и статистики , где скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве. При. большом произведении (большой базе сигнала) статистики U и Т можно приближенно представить в интегральной форме:

Через введенные параметры и статистики выражение (2.25) записывается в форме плотности вероятности экспоненциального семейства распределений

Задача обнаружения через полезный и мешающий параметры формулируется как задача проверки сложных гипотез:

Из (2.28) и теоремы факторизации получаем, что статистика (2,26) достаточна для полезного параметра y и статистика (2.27) — для мешающего параметра . Согласно теореме о полноте семейства распределения, статистики Г образуют полное семейство на границе . Используя (2.28) и свойства экспоненциальных семейств распределений [87], можно установить, что функция мощности любого правила непрерывна по параметру Ф и семейство условных распределений имеет монотонное отношение правдоподобия относительно статистики U при всех значениях статистики Т. Таким образом, в рассматриваемой задаче существут РНМ несмещенное правило с решающей функцией (2.14). Для окончательной конкретизации правила найдем его пороговую функцию.

Семейство распределений наблюдаемого процесса на границе Д симметрично относительно группы масштабных преобразований, так как этой группе соответствуют произвольные изменения спектральной плотности шума. Индуцированные в параметрическое пространство П преобразования образуют группу транзитивную в пространстве П. Статистика U удовлетворяет равенству (2.15) при , где — параметр, задающий преобразование . Поэтому для построения пороговой функции воспользуемся вторым способом, рассмотренным в п. 2.1.3. Так как индуцированная группа то преобразование удовлетворяющее уравнению задается параметром . Соответствующее ему преобразование имеет параметр Тем самым статистика . Полагая и используя равенство (2.17), находим пороговую функцию

Из (2.14), (2.26) и (2.29) получаем решающую функцию искомого правила

Структурная схема обнаружителя, реализующего правило (2.30), приведена на рис. 2.1. На этом и последующих рисунках СФ — фильтр, согласованный с сигналом — несущая частота; АФД — амплитудно-фазовый детектор; х — перемножитель;

ВС — временной селектор, который открывается коротким импульсом в конце посылки сигнала s (t); j — интегратор; ПУ — пороговое устройство, которое вырабатывает решение о наличии или отсутствии сигнала; V — устройство извлечения квадратного корня.

Правило (2.30) обеспечивает стабильную вероятность ложной тревоги, равную а, при любом изменении спектральной плотности шума и обладает наибольшей вероятностью правильного обнаружения при всех отношениях сигнал-шум . Характеристики обнаружения правила (2.30), рассчитанные по таблицам распределения Стьюдента [74], даны на рис. 2.2. Анализ этих характеристик показывает, что вероятность правильного обнаружения D монотонно возрастает с увеличением отношения сигнал-шум и произведения полосы пропускания ЛТП на время наблюдения.

Рис. 2.1. Структурная схема обнаружителя когерентного сигнала в шумах неизвестной мощности

Рис. 2.2. Характеристики обнаружения когерентного сигнала в шумах неизвестной мощности

В пределе, когда вероятность D сравнивается с вероятностью правильного обнаружения потенциального правила, предполагающего априорное знание спектральной плотности шума. При конечном значении v имеется проигрыш в пороговом отношении сигнал-шум по сравнению с отношением, получаемым при потенциальном правиле. Этот проигрыш есть своего рода плата за незнание мощности шума. Потери в пороговом отношении сигнал-шум быстро убывают с ростом v и уже при 10 не превышают . Тем самым, в отличие от случая известной спектральной плотности шума, помехоустойчивость обнаружения при априорной неопределенности этой плотности зависит от базы сигнала, но, однако, сравнительно быстро стремится к потенциальной помехоустойчивости при увеличении базы сигнала.

Перейдем к задаче обнаружения и различения сигналов на фоне гауссовского шума, который по-прежнему считаем белым на входе ЛТП. Полагаем, что сигналы полностью известны, образуют ортогональную, биортогональную или эквидистантную совокупность и имеют единичные энергии. Такие сигналы встречаются в дискретных системах связи и при радиолокационном обнаружении цели с указанием элемента разрешения, в котором она находится. К априорно неопределенным параметрам задачи относим энергию Е обнаруживаемых сигналов и спектральную плотность шума.

В данном случае выделяются полезный и мешающий параметры. Статистики, входящие в решающую функцию (2.23), имеют вид

Достаточная для мешающего параметра статистика

Непосредственной проверкой можно убедиться, что в этой задаче выполняются все предпосылки существования РНМ несмещенного правила. Совокупность G, удовлетворяющая условиям (2.22), состоит из ортогональных преобразований Такие преобразования задаются оператором g поворота на некоторый угол вокруг оси перпендикулярной подпространству сигналов . Например, при трех эквидистантных сигналах , при четырех биортогональных сигналах . Преобразования , где степень оператора .

Решающая функция РНМ несмещенного правила задается выражением (2.23), в котором статистики и Т определяются формулами (2.31) и (2.32). Замечая, что семейство распределений в отсутствие сигнала симметрично относительно группы масштабных преобразований и статистика удовлетворяет соотношению , получаем по второму способу п. 2.1.3 пороговую функцию Окончательное выражение для решающей функции РНМ несмещенного правила обнаружения и различения сигналов , имеет вид

Структурная схема обнаружителя, реализующего правило (2.33), приведена на рис. 2.4. Здесь и далее УВМ — устройство выбора максимального

значения; фильтр, согласованный с сигналом Остальные обозначения те же, что на рис. 2.1.

Правило (2.33) обеспечивает стабильную и равную а вероятность ложной тревоги при любом изменении спектральной плотности шума и обладает максимальной вероятностью правильного обнаружения каждого сигнала при всех отношениях сигнал-шум Вероятности одинаковы при равных амплитудах обнаруживаемых сигналов, что обеспечивает инвариантность полной вероятности правильного обнаружения к изменению априорных вероятностей сигналов

Рис. 2.3. Ортогональные преобразования сигналов

Рис. 2.4. Структурная схема обнаружителя нескольких когерентных сигналов в шумах неизвестной мощности

У данного правила одинаковы также вероятности ошибочного распознавания принятого сигнала. Помехоустойчивость многоальтернативного обнаружения возрастает с переходом от ортогональной к биортогональной и эквидистантной совокупностям сигналов точно так же, как и в случае обнаружения в белом шуме с известной спектральной плотностью. Проигрыш в пороговом отношении сигнал-шум, связанный с незнанием спектральной плотности шума, имеет тот же порядок, что и при бинарном обнаружении, и быстро убывает с ростом базы сигналов.