4.3.4. Квазикогерентное последовательное обнаружение сигнала с неизвестным доплеровским сдвигом

Важным для практики видом априорной неопределенности является ситуация, когда в точке приема неизвестна фаза несущей сигнала, подлежащего обнаружению. Если фаза наблюдаемого напряжения относительно некоторого гармонического опорного колебания как при наличии, так и при отсутствии сигнала изменяется от отсчета к отсчету по случайному закону и распределена равномерно в интервале операция усреднения функций правдоподобия

по мешающему параметру приводит к амплитудным (некогерентным) методам обнаружения, рассмотренным выше. Данный раздел посвящен вопросам построения последовательных процедур обнаружения когерентных сигналов, фаза которых постоянна или изменяется по некоторому детерминированному закону

Наиболее просто реализуется последовательная процедура обнаружения сигнала, фаза которого постоянна и полностью известна в точке приема. Отношение правдоподобия наблюдаемой выборки в этом случае факторизуется относительно отдельных отсчетов и для сигнала с фиксированной амплитудой имеет вид

Соответственно

На практике случай точно известной фазы встречается редко. При сравнительном анализе эффективности различных алгоритмов обнаружения алгоритм (4.83) часто используется как предельный [152].

Значительно чаще неизвестная фаза сигнала в каждый процедуре остается постоянной: , а от процедуры к процедуре изменяется по случайному закону и распределена равномерно в интервале Отношение правдоподобия для этого случая находим интегрированием статистики по априорному распределению фазы

соответственно

Вычислитель статистики (4.85), которая, в отличие от статистики (4.83), не распадается на сумму статистик отдельных отсчетов несколько сложнее, чем при полностью известной фазе, но реализуем на современном уровне вычислительной техники.

Наиболее сложен с точки зрения построения последовательной процедуры случай, когда параметры функции неизвестны. Примером такого случая, представляющим большой практический интерес, является сигнал, несущая частота которого имеет неизвестный постоянный или регулярно меняющийся сдвиг относительно опорной частоты.

Обнаружитель сигнала с неизвестной частотой и начальной фазой обычно строится по многоканальной схеме, причем полоса пропускания каждого канала, а следовательно, и число каналов, необходимое для

перекрытия диапазона возможных значений частоты сигнала, зависят от времени наблюдения. Реализация такой многоканальной системы в случае последовательного обнаружения, когда длительность наблюдения является случайной, оказывается весьма сложной, а ее эффективность с ростом числа каналов уменьшается.

От указанных недостатков в значительной степени свободен одноканальный алгоритм «экстраполяционно-фазового» последовательного обнаружения (ЭФО) [184], в котором производится оценка неизвестных параметров функции и соответствующая перестройка вычислителя решающей статистики, т. е. реализуется метод совместного обнаружения-оценивания. В ходе этой перестройки по мере уточнения зависимости алгоритм вычисления отношения правдоподобия постепенно трансформируется из некогерентного в когерентный. До принятия решения о наличии сигнала возможность оценки зависимости по классифицированной выборке обычно отсутствует, поэтому В рассматриваемой задаче в качестве обучающей должна использоваться решающая выборка .

Ниже алгоритм ЭФО рассматривается применительно к задаче обнаружения когерентного гармонического сигнала с фиксированной амплитудой на фоне некоррелированных гауссовских помех при априорном предположении о линейном законе изменения фазы сигнала за время обнаружения параметры которого неизвестны. Для дискретных фазовых отсчетов такому предположению соответствует соотношение , где — период поступления отсчетов.

Расчет отношения правдоподобия при последовательном анализе, следуя общей методике, описанной в п. 4.3.1, целесообразно производить рекуррентно в соответствии с выражением

При этом отношение правдоподобия для полученной на шаге последовательной процедуры пары отсчетов амплитуды и фазы должно вычисляться с учетом распределения ожидаемой на этом шаге фазы сигнала Последнее определяется как апостериорное по получении предшествующих фазовых отсчетов и является априорным для отсчета фазы .

Вся информация о распределении содержащаяся в выборке может быть представлена в виде оценки экстраполированной на один шаг последовательной процедуры оценки фазы сигнала если последняя является достаточной статистикой выборочных данных. При этом условное распределение полностью определяется способом получения оценки, а апостериорное распределение рассчитываемое по формуле Байеса (4.68), с ростом i перестает зависеть от априорного распределения . Если наблюдаемая выборка порождена одной помехой, величина представляет собой псевдооценку экстраполированного значения фазы сигнала.

На способ оценки параметров зависимости существенное влияние оказывает ограниченность интервала однозначного измерения фазы который полагается равным . В результате этого для

линейного закона наблюдаемые отсчеты при отсутствии помех меняются циклически. Априорное распределение предполагается равномерным в интервале . Интервал возможных значений ограничивается областью их однозначного определения при дискретном поступлении фазовых отсчетов с интервалом в пределах этого интервала априорное распределение также полагается равномерным.

Для нециклических величин хорошо разработаны нерекуррентные и рекуррентные методы сглаживания и экстраполяции линейных траекторий по выборочным данным [171, 185, 186]. Алгоритмы оценки фазы, учитывающие ее цикличность, сложны и недостаточно разработаны [187]. Поэтому описываемый ниже алгоритм ЭФО построен на основе известных алгоритмов рекуррентного сглаживания нециклических линейно меняющихся величин, в которые введена эвристическая коррекция на цикличность фазовых отсчетов.

Алгоритм сглаживания и экстраполяции фазы имеет вид

при начальных условиях . Здесь значение отсчета фазы; — сглаженное по i отсчетам значение фазы; сглаженное значение приращения фазы за период Т между отсчетами; оценка экстраполированного значения фазы для шага коэффициенты сглаживания. Функция

используется здесь в качестве упомянутой эвристической коррекции алгоритма сглаживания (для нециклических величин .

При использовании этого алгоритма в случае гауссовских помех нестационарной интенсивности

где — дисперсия оценки экстраполированного значения фазы; коэффициент корреляции между .

Для вычисления может быть использован рекуррентный алгоритм:

при начальных условиях для имеем

В случае смеси гармонического сигнала И гауссовского шума дисперсия текущего отсчета фазы определяется соотношением [188]

где отношение сигнал-шум по напряжению, которое предполагается известным или достаточно точно оцененным по обучающей выборке.

Для однородной выборки, соответствующей наблюдению в стационарном гауссовском шуме, алгоритм вычисления коэффициентов сглаживания сильно упрощается. В этом случае зависят только от номера шага

При большом числе фазовых отсчетов на основании центральной предельной теоремы воспользуемся нормальной аппроксимацией распределения отклонений отсчетов оценки относительно истинного значения Такая аппроксимация с учетом ограничения области существования фазовых отсчетов интервалом длиной является удовлетворительной только при достаточно большом отношении сигнал-шум, однако позволяет получить аналитически наглядный результат. Очевидно, что основанный на такой аппроксимации алгоритм обнаружения тем далее от оптимального, чем меньше отношение сигнал-шум. Разумные границы его применимости и эффективность по сравнению с некогерентным и истинно когерентным алгоритмами последовательного обнаружения ниже оцениваются статистическим экспериментом на ЭВМ.

Апостериорная плотность при равномерном априорном распределении совпадает с условной плотностью :

Двумерные плотности совместных распределений отсчетов для гипотезы и альтернативы определяются выражениями

Используя обозначение плотность W можно представить в виде

Интегрируя плотность (4.88) по распределению отклонения оценки от истинного значения (4.87), получаем отношение правдоподобия для одного отсчета

С использованием гармонического разложения

и известных интегралов

получаем следующее выражение для логарифма отношения правдоподобия (4.89) [189]:

При последнее выражение переходит в характеристику , соответствующую некогерентному обнаружению

а при в логарифм отношения правдоподобия когерентного сигнала с точно известным фазовым сдвигом

Расчет функции с помощью (4.90) удобен при малых величинах и большой дисперсии При больших и

малых сходимость входящего в это выражение ряда замедляется, а необходимая точность расчета его членов возрастает. При таком сочетании параметров удобнее пользоваться другим представлением функции которое получается разложением функции в ряд Тейлора по степеням в окрестности точки Ограничиваясь для малых двумя членами ряда, находим

Третье слагаемое этого выражения представляет поправку к характеристике Для когерентного сигнала, возникающую вследствие ограниченной точности оценки фазы.

На рис. 4.14 приведены полученные методом математического моделирования характеристики обнаружения и зависимости для последовательной процедуры, построенной на статистике (4.90). Как следует из этих зависимостей, алгоритм ЭФО при обеспечивает выигрыш в средней длительности процедуры обнаружения около 2 раз по сравнению с некогерентным обнаружением. Потери в среднем времени наблюдения алгоритма ЭФО относительно когерентного обнаружителя сигнала с известной начальной фазой при равных вероятностях обнаружения составляют 30-40%. При отсутствии сигнала выигрыш снижается, что связано с меньшей средней длительностью процедуры необнаружения и недостаточной сходимостью алгоритма ЭФО к когерентному за малое число шагов. С уменьшением выигрыш в средней длительности увеличивается, однако наблюдается снижение вероятности правильного обнаружения D, которое при дБ становится существенным.

Это связано с повышением вероятности сбоя сглаживания фазовой траектории из-за цикличности фазовых отсчетов и их неправильной интерпретации в принятом алгоритме. Таким образом, при дБ описанный алгоритм теряет свою эффективность. Расширение диапазона эффективного использования алгоритма ЭФО возможно при коррекции решающей статистики с учетом ошибок сглаживания фазовых отсчетов. Так, стабилизация вероятности правильного обнаружения при уменьшении возможна, если для расчета функций правдоподобия в качестве апостериорной плотности распределения фазы использовать композицию фазовых распределений для правильного и ошибочного сглаживания траекторий. Эти распределения должны суммироваться с весами, равными вероятностям безошибочного и ошибочного сглаживания, которые могут быть определены из статистического эксперимента.

Моделирование показывает, что использование композиции распределений стабилизирует вероятность правильного обнаружения ценой некоторого увеличения средней длительности последовательного анализа по сравнению с описанным алгоритмом ЭФО Циклические алгоритмы,

ритмы, принципиально исключающие сбои сглаживания фазы, в настоящее время трудно реализуемы.

При выигрыш ЭФО относительно некогерентного обнаружителя уменьшается, поскольку при обнаружении сильных сигналов когерентные и некогерентные методы близки по эффективности.

Таким образом, описанный квазикогерентный одноканальный алгоритм ЭФО обеспечивает заметный выигрыш в средней длительности последовательного анализа в диапазоне отношений сигнал-шум .

Рис. 4.14. Зависимости характеристики обнаружения и средней длительности наблюдения от уровня сигнала а, совпадающего с расчетным , и от отношения истинного уровня сигнала к расчетному (б): нефлуктуирующий сигнал; — некогерентное обнаружение, 2 — экстраполяционно-фазовое обнаружение)

Отметим, что дополнительным преимуществом этого алгоритма является возможность получения в момент принятия решения оценки частотного сдвига обнаруживаемого сигнала, которая формируется в процессе сглаживания фазовой траектории. Как показывают результаты математического моделирования, среднеквадратическая ошибка этой оценки не превышает , где Т — период между отсчетами.