2.1.2. Семейства распределений наблюдаемого процесса

В теории несмещенности и подобия к семействам распределений наблюдаемого процесса предъявляются определенные требования. Выделим основные классы семейств распределений, каждый из которых удовлетворяет одному из этих требований. В рассмотренных ниже распределениях параметр является характеристикой соответствующего семейства и может не совпадать с тем параметром, через который выражаются проверяемые гипотезы.

Семейства распределений с монотонным отношением правдоподобия.

К этому классу относятся семейства у которых отношение правдоподобия монотонно относительно некоторой статистики при любых т. е. -ставимо в виде

где — монотонно возрастающая (убывающая) при всех функция. Например, отношение правдоподобия семейства монотонно относительно статистики

Данный класс семейства распределений играет важную роль при синтезе РНМ правил. Если отношение правдоподобия монотонно, то существует РНМ правило. При монотонно возрастающей функции РНМ правило имеет решающую функцию

где порог, который не зависит от параметра и определяется только заданным уровнем а вероятности ложной тревоги [87].

Семейства распределений с достаточными статистиками.

Статистика Т называется достаточной для семейства если условное распределение выборки из наблюдаемого процесса при всех значениях статистики Т не зависит от параметра . Признак достаточности статистики дается теоремой факторизации, согласно которой статистика Т достаточна для семейства тогда и только тогда, когда плотность вероятности факторизуется в виде

где — неотрицательная функция, зависящая от параметра Ф; неотрицательная функция, в которую не входит параметр Редукция наблюдаемого процесса к достаточной статистике не сопровождается потерей информации о семействе распределений. Поэтому достаточные статистики широко используются при синтезе правил проверки гипотез.

В теории несмещенности и подобия важную роль играют статистики, достаточные соответственно для мешающего и полезного параметров. При двухкомпонентном параметре статистика U называется достаточной для параметра у, если при каждом фиксированном значений условное распределение выборки из наблюдаемого процесса не зависит от параметра у при всех значениях статистики U. Аналогично определяется достаточная для параметра статистика Т. Из теоремы факторизации следует, что статистика Т достаточна для параметра тогда и только тогда, когда плотность вероятности

где функция не зависит от параметра (ее зависимость от параметра y допускается). Например, у семейства

статистика Т достаточна для параметра , а статистика U — для параметра .

Полные семейства распределений.

Обозначим семейство распределений некоторой достаточной статистики Т. Семейство называется полным, если для произвольной функции из равенства которое выполняется при всех , следует, что при всех значениях t статистики Т (точнее, при всех t, за исключением множества нулевой вероятности). В специальном, но практически важном случае вопрос о полноте семейства распределений достаточной статистики решается теоремой о полноте семейства распределений [87, 88]. Пусть достаточная статистика и плотность вероятности исходного семейства

Тогда семейство распределений достаточной статистики Т будет полным, если множество содержит -мерный интервал, т. е. размерность множества совпадает с размерностью статистики Т.

В качестве примера рассмотрим повторную выборку из распределения Гаусса с нулевым средним и произвольной дисперсией . Для семейства распределений этой выборки достаточной является статистика . Так как плотность вероятности

и множество значений А, одномерно, то семейство распределений статистики полное. Отметим, что при полноте семейства распределений достаточной статистики исходное семейство не обязано быть полным. В этом нетрудно убедиться, если в приведенном примере выбрать функцию математическое ожидание которой равно нулю при всех распределениях семейства.

Симметричные семейства распределений.

Этот класс семейств распределений рассматривается в тех случаях, когда в пространстве X реализаций наблюдаемого процесса существует некоторая группа G преобразований X на себя. Напомним, что под группой G понимается такая совокупность элементов g, которая удовлетворяет условиям:

1. Определена операция группового умножения, которая любым элементам ставит в соответствие элемент Элемент называется произведением элементов и обозначается

2. Групповое умножение ассоциативно, т. е.

3. Существует единичный элемент , такой, что для всех

4. Для каждого элемента имеется обратный элемент такой, что .

Если элементы являются преобразованиями пространства X на себя и групповое умножение определяется как результат последовательного применения преобразований то G называется группой преобразований. Преобразованный элемент в X обозначается

Семейство распределений называется симметричным относительно группы G, если для любого преобразования найдется такое индуцированное в параметрическое пространство преобразование g, при котором и

где якобиан преобразования g. Совокупность G всех индуцированных преобразований g образует группу, если таковой является совокупность G преобразований в пространстве [87].

Симметрия семейства относительно группы G означает, что распределения преобразованной выборки также принадлежат семейству . Действительно, вводя новую переменную находим . После подстановки в равенство (2.3) получаем . Поэтому . Так как и то принадлежит семейству Например, семейство

симметрично относительно группы ортогональных преобразований

Индуцированные в пространство преобразования

Экспоненциальные семейства распределений.

Семейство называется экспоненциальным, если плотность вероятности

где X — евклидово пространство; — некоторое параметрическое пространство; статистики; неотрицательная функция; — произвольные функции [87, 88].

Для экспоненциальных семейств вводят так называемое натуральное пространство параметров . В это пространство включают все те значения при которых интеграл от имеет конечное значение. Экспоненциальные семейства охватывают широкий круг задач обнаружения сигналов. Дадим примеры часто встречающихся экспоненциальных семейств.

1. Повторная выборка из распределения Бернулли

Распределения этой выборки образуют экспоненциальное семейство с параметром и статистикой

2. Повторная выборка из распределения Пуассона

Распределения выборки принадлежат экспоненциальному семейству с параметром и статистикой

3. Повторная выборка из гауссовского распределения с плотностью вероятности

Распределения выборки принадлежат экспоненциальному семейству с параметрами и статистиками

4. Повторная выборка из Г-распределения с плотностью вероятности

где гамма-функция. Распределения выборки образуют экспоненциальное семейство с параметрами и статистиками

5. Повторная выборка из -распределения с плотностью вероятности

в остальных случаях, где число степеней свободы. Распределения выборки образуют экспоненциальное семейство с параметром и статистикой