3.3.7. Применение относительных минимаксных критериев в задаче обнаружения случайного сигнала

Выбранная выше область альтернатив (п. 3.3.1) обеспечивает наибольшее значение гарантированной вероятности правильного обнаружения для При этом возможность улучшения характеристик обнаружения с ростом y не находится под контролем критерия оптимальности и может оказаться нереализованной. Правила обнаружения, реализующие такую возможность, отвечающие относительным минимаксным критериям оптимальности и, в частности, критерию (3.22) с (3.25), в соответствии с § 3.2 имеют для рассматриваемой задачи двоичного обнаружения случайного сигнала следующий общий вид:

где — отношение правдоподобия максимального инварианта относительно группы преобразований масштаба; наименее благоприятное распределение параметра у в . При этом при критерии (3.22) с должно удовлетворять условию в той части Г, где .

Приближенно, разбивая Г на конечную последовательность подобластей, аппроксимируем решающее правило (3.176) с помощью правила

где выбираются из условия шах либо из условия для всех которые соответствуют

Правило (3.177), соответствующее второму условию, обеспечивает в У минимум наибольшей в нехватки мощности по отношению к

Для задачи обнаружения ВЧ сигнала на фоне шума с неизвестной интенсивностью правило (3.177) имеет вид

где выбираются из тех же условий, что и Р.

При заданном k, очевидно, существует оптимальное разбиение (т. е. совокупность ), при котором упомянутые минимумы Оказываются наименьшими. Границы области , могут быть расширены до

Соответствующие варианты правил по критериям (3.31), (3.26) либо (3.27) и их аппроксимации имеют ту же структуру и отличаются лишь выбором или

При больших правило (3.178) может быть упрощено до

где выбираются из прежних условий.

Такую же структуру (3.179) с имеет и правило условного максимального правдоподобия (3.94) для заданных дискретных значений параметра у. являющееся аппроксимацией соответствующего правила для непрерывного неизвестного у.

Аналогичным методом, заменяя на суммы взвешенных нетрудно получить -многоальтернативные решающие правила, соответствующие рассматриваемым относительным критериям оптимальности.

Как показывает сравнительная оценка эффективности приведенных выше аппроксимаций решающих правил обнаружения случайного сигнала по относительным минимаксным критериям практически удовлетворительной оказывается одно — трехточечная аппроксимация. При качестве обнаружения в зависимости от объема выборки (среднего, малого или большого) приближенно минимаксными по относительным критериям являются одноточечные минимаксные правила (для соответствующего ) типа (3.120), (3.132) или их

предельные формы (3.131), (3.133) и (3.123), (3.130) для сильных или слабых сигналов (см., например, рис. 3.8). Дополнительные примеры применения минимаксного подхода к задачи обнаружения сигналов в условиях априорной неопределенности даны в [82, 83, 104, 111, 112, 118, 119, 121 —124, 126—129, 132].