1.5.2. Каналы с медленными замираниями

В реальных каналах передачи информации на радиосигнал воздействуют не только аддитивные помехи, как это предполагалось выше, но и мультипликативные или модулирующие [26] (т. е. имеют место замирания). Предполагая замирания на интервале наблюдения медленными, сигнал на выходе канала запишем как

— неизвестные амплитуда и фаза полезного сигнала; — неизвестный неэнергетический параметр, реализации гауссовского шума с корреляционной матрицей (1.231). Поскольку замирания предполагаются медленными, будем считать неизвестные и постоянными в течение длительности сигнала.

Приемник максимального правдоподобия должен вырабатывать логарифм ФОП всех неизвестных параметров принимаемых сигналов

и принимать решение, сравнивая абсолютный максимум с порогом . В рассматриваемом случае логарифм ФОП

Здесь

а функция аналогично (1.107) определяется из интегрального уравнения

Максимизируя (1.240) по значениям неизвестных амплитуд и начальных фаз принимаемого сигнала , получаем

где — блочный вектор, а блочная матрица

Следовательно, приемник сигнала, прошедшего v каналов с медленными замираниями, должен вырабатывать функцию (1.242) для всех

Найдем вероятности ошибок. При отсутствии полезного сигнала и

Здесь

- квадратуры шумовой функции, которые обладают свойствами, аналогичными свойствам квадратур шумовой функции при одноканальном приеме [27]:

где — квадратуры сигнальной функции, которые определяются формулами (1.105), если в них заменить на заменить на d. Поскольку для неэнергетического параметра , то компоненты вектора есть стационарные и стационарно связанные гауссовы случайные процессы. Следовательно, также стационарный процесс.

Положим, что огибающая сигнальной функции - при стремится к нулю. Тогда необходимое для определения вероятности ложной тревоги распределение абсолютного максимума в, можно приближенно записать в виде (1.59). Эта формула основана на предположении, что поток выбросов случайной функции за достаточно высокий уровень Н является пуассоновским [25, 43].

Найдем среднее число выбросов за уровень Н случайного процесса на единичном интервале определения неизвестного параметра Как известно, для стационарного случайного процесса [43]

где совместная плотность вероятности значений процесса (1.244) и его производной

Вначале определим характеристическую функцию для случайных величин . Так как

Для выполнения усреднения в этой формуле найдем совместную плотность вероятности векторов . Вектор N получен в результате линейного преобразования входного гауссовского шума. Поэтому N и N — гауссовские случайные векторы, причем согласно (1.245)

Следовательно, совместная плотность вероятности векторов N и

где блочная матрица

Подставляя (1.249) в (1.247), для характеристической функции получаем

Для вычисления этого интеграла введем в рассмотрение блочный вектор и блочную матрицу

Тогда (1.250) можно переписать как

Интегрирование в этой формуле не вызывает затруднений и приводит к результату

где

Из (1.251) находим совместную плотность вероятности процесса (1.244) и его производной

Подставляя это выражение в (1.246) и выполняя интегрирование, получаем формулу для среднего числа выбросов процесса за уровень Н на интервале единичной длины

Теперь аналогично (1.62) можем записать приближенное выражение для вероятности ложной тревоги при передаче сигнала по v каналам с медленными замираниями

Здесь совпадает с (1.111).

Перейдем к определению вероятности пропуска сигнала. Опять полагая, что длина априорного интервала значительно больше длительности огибающей сигнальной функции . можем воспользоваться формулой (1.64), причем в рассматриваемом случае

При наличии на входе приемника сигнала отношение сигнал-шум для принятого сигнала равно

где . Определим, как и ранее (п. 1.2.1 и др.), подобласть как часть интервала , где Тогда при достаточно большом отношении сигнал-шум для принятого сигнала можно приближенно положить Здесь, как и ранее, — положение абсолютного максимума (1.242) при наличии полезного сигнала и Следовательно, для приближенного расчета условной вероятности пропуска сигнала при достаточно найти плотность вероятности случайной величины

Здесь — вектор, компонентами которого являются гауссовские случайные величины с известными статистическими характеристиками.

Используя аппарат характеристических функций, получаем плотность вероятности для (1.257) в виде

где — функция Бесселя мнимого аргумента порядка v. Воспользовавшись последней формулой, для вероятности имеем приближенное выражение

Подставляя (1.255) и (1.259) в (1.64), находим вероятность пропуска при обнаружении сигнала, передаваемого по v каналам с медленными замираниями:

Сравним вероятности ошибок 1-го и 2-го рода при обнаружении сигнала, передаваемого по v каналам с медленными замираниями, с вероятностями ошибок при обнаружении сигнала, передаваемого по одному каналу с медленными замираниями.

Рис. 1.25. Вероятность ложной тревоги при многоканальном приеме

Сравнение проведем в предположении, что отношения сигнал-шум при многоканальном и одноканальном приеме одинаковы. Если в (1.254) и (1.260) положить , то эти формулы несколько упрощаются и принимают вид

При обнаружении сигнала, передаваемого по одному каналу с медленными замираниями (т. е. сигнала с неизвестными амплитудой, фазой и неэнергетическим параметром Ф), как показано в п. 1.4.1, при вероятность ложной тревоги определяется из (1.114), а вероятность пропуска — из (1.78). Из сравнения (1.261) и (1.78) видим, что вероятности пропуска в этих случаях равны, если положить . Соответственно при равных вероятностях пропуска отношение ложных тревог при использовании v каналов и одного канала равно . Из этой формулы следует, что предельный проигрыш в эффективности обнаружения

падает с увеличением числа используемых каналов и растет с увеличением порога, т. е. с уменьшением требуемого уровня ложных тревог.

Формулы (1.254) и (1.260) получены не основе ряда допущений, которые носят приближенный характер. Оценить аналитически точность этих формул весьма затруднительно: можно лишь утверждать, что их точность возрастает с увеличением

Рис. 1.26. Вероятность пропуска сигнала (два канала)

Для конечных значений этих параметров вопрос о применимости полученных формул (1.254) и (1.260) можно решить экспериментальной проверкой.

С целью изучения возможностей использования полученных формул для умеренных значений было выполнено (совместно с Ю С. Радченко) моделирование многоканального обнаружения на ЭВМ. В процессе моделирования формировался выходной сигнал приемника максимального правдоподобия (1.242) для огибающей и квадратур сигнальной функции вида . Матрица (1.231) выбиралась диагональной с одинаковыми элементами. С целью ускорения моделирования применялся метод зависимых испытаний [34].

Рис. 1.27. Вероятность пропуска сигнала (три канала)

Экспериментальные значения вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала определялись для различных значений . Эти экспериментальные значения приведены на рис. 1.25-1.27, где нанесены также теоретические зависимости, рассчитанные по формулам (1.254), (1.260). Объем экспериментальной

выборки задавался таким образом, что с вероятностью 0,9 границы доверительного интервала отклоняются от экспериментальных значений не более чем на 15%. Следует отметить удовлетворительную аппроксимацию экспериментальных зависимостей асимптотически точными формулами (1.254), (1.260) уже при и значениях порога с, соответствующих