Глава 2. НЕСМЕЩЕННЫЕ И ИНВАРИАНТНЫЕ ПРАВИЛА ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ

2.1. Принципы несмещенности и подобия в задачах проверки сложных гипотез

2.1.1. Несмещенность и подобие правил проверки гипотез

Обнаружение сигналов в условиях параметрической априорной неопределенности есть проверка сложных статистических гипотез относительно распределения наблюдаемого процесса или выборки из него. Отсутствию сигнала сопоставляется гипотеза о том, что это распределение принадлежит семейству , а его наличию — гипотеза о том, что процесс имеет распределение из семейства Здесь и далее - плотность вероятности выборки из наблюдаемого процесса; Ф — в общем случае многомерный параметр распределения; непересекающиеся множества параметрического пространства . Априорные сведения о параметре ограничены только знанием множеств его ожидаемых значений, причем никаких априорных распределений на этих множествах не задается.

Правила проверки гипотез представляются решающими функциями которые задают процедуру принятия решения в пользу той или иной гипотезы при наблюдении На практике обычно используются так называемые нерандомизированные правила, у которых

где непересекающиеся множества пространства X реализаций наблюдаемого процесса; Решение о выполнении гипотезы выносится при о выполнении гипотезы при . В случае рандомизированного правила функция задает вероятность решения в пользу гипотезы при наблюдении . Вероятность решения в пользу гипотезы равна . Само решение принимается по состоянию датчика случайных чисел 1 и 0, вероятности которых соответственно равны

Вероятностные характеристики правила проверки гипотез представляются функцией мощности где символ математического ожидания по распределению наблюдаемого процесса с плотностью вероятности Значение функции мощности при равно вероятности ложной тревоги, а при вероятности правильного обнаружения сигнала.

Правило обнаружения в условиях априорной неопределенности должно отвечать следующим основным требованиям. Во-первых, оно должно быть структурно устойчивым, т. е. его решающая функция не должна зависеть от неизвестных параметров распределения наблюдаемого процесса. Во-вторых, потери в эффективности обнаружения по сравнению с потерями при правилах, оптимальных при полной априорной информации, должны быть минимальными, а сами характеристики обнаружения — устойчивыми к изменению априорно неопределенных параметров задачу. Перечисленным требованиям наиболее полно отвечают так называемые равномерно наиболее мощные (РИМ) правила. Характерная особенность РИМ правила состоит в том, что оно при одной и той же решающей функции обеспечивает максимальную вероятность правильного обнаружения при любом значении и заданный уровень вероятности ложной тревоги на множестве . Устойчивость характеристик обнаружения РИМ правила обеспечивается гарантированным уровнем вероятности ложной тревоги при любых изменениях параметра а минимальные потери в эффективности — максимизацией вероятности правильного обнаружения сигнала при всех значениях .

Однако РИМ правила существуют очень редко и в мало интересных для практики случаях. Поэтому были разработаны другие подходы к синтезу правил обнаружения в условиях априорной неопределенности. Для практического приложения к задачам обнаружения и различения сигналов достаточно эффективны подходы, основанные на принципах несмещенности, подобия и инвариантности [871. При использовании этих принципов класс всех решающих правил, в котором обычно не существует РИМ правила, заменяется более узким классом правил со специальными свойствами. Сужение класса производится так, чтобы обеспечить существование в нем РНМ правила и одновременно получить ту или иную устойчивость характеристик обнаружения к изменению априорно неизвестных параметров задачи.

Остановимся на принципах несмещенности и подобия. При синтезе оптимального правила на основе принципа несмещенности выделяется класс правил, функции мощности которых удовлетворяют условиям несмещенности:

Первое условие (2.1) гарантирует, как и в случае РНМ правила, заданный уровень а вероятности ложной тревоги. Второе условие (2.1) повышает устойчивость правила в том смысле, что исключает значения вероятности правильного обнаружения, меньшие значения вероятности ложной тревоги. Правила из класса называются несмещенными. Отметим, что РНМ правило, если оно имеется в классе всех решающих правил, оказывается несмещенным [87]. Поэтому переход к классу не сопровождается потерей РНМ правила в случае его существования. Оптимальное по критерию Неймана—Пирсона правило, у которого вероятность правильного обнаружения максимальна при каждом в классе называется РНМ несмещенным.

Принцип несмещенности приводит к построению РНМ несмещенного правила, если параметр разделяется (непосредственно или после некоторого преобразования) на полезный и мешающий параметры. Полезным называют параметр, значения которого определяют выполнение гипотезы или альтернативы мешающим — параметр, изменение которого не влияет на выполнение любой из проверяемых потез.

В задачах обнаружения в роли мешающих выступают обычно параметры распределения шума и в роли полезных — параметры, зависящие от энергетических характеристик сигнала. Например, при обнаружении сигнала известной формы в гауссовском шуме , где а — амплитуда сигнала; дисперсия шума. Множества при наличии полезного и мешающего параметров выражаются в форме декартовых произведений: , где множества значений у при гипотезе и альтернативе — множество значений

Функция мощности при довольно общем ограничении непрерывна по Поэтому у несмещенных правил она равна постоянному значению а на границе А множеств Вследствие этого при синтезе РНМ несмещенного правила выделяется класс пп правил, удовлетворяющих условию

Затем в классе ищется РНМ правило уровня а для вероятности ложной тревоги и проверяется, что это правило является несмещенным. Условие (2.2) называется условием подобия правила на множестве А, удовлетворяющие ему правила — подобными на множестве А, соответственно РНМ правило в класса РНМ подобным.

Основанием для перехода к классу подобных правил при синтезе РНМ несмещенного правила служит лемма, согласно которой РНМ подобное и несмещенное правила одного и того же уровня а вероятности ложной тревоги совпадают друг с другом, если их функции мощности непрерывны по и множество подобия является границей множеств Переход к подобным правилам существенно упрощает задачу синтеза, если для мешающего параметра имеется достаточная статистика. Использование этой достаточной статастики позволяет исключить неизвестный мешающий параметр при синтезе РНМ несмещенного правила [87, 88].