3.1.5. Относительные минимаксные критерии

Идея относительных минимаксных критериев состоит в том, чтобы оптимизировать решающее правило не по абсолютным значениям показателей качества, как это предполагалось в предыдущих пунктах, а по некоторой мере различия показателей качества оптимизируемого решающего правила и решающего правила, оптимального при условии, что часть или все параметры задачи априори известны. Такой подход в некоторых практических задачах обнаружения больше отвечает потребностям разработчика алгоритмов и позволяет нейтрализовать особенность минимаксных критериев, которые выделяют абсолютно наихудшие условия обнаружения.

Рассмотрим несколько вариантов относительных минимаксных критериев, в том числе аналоги так называемых строгих критериев математической статистики [87, 139].

Критерий минимакса потерь вероятности правильного обнаружения.

Критерий минимакса потерь вероятности ((нехватки мощности) гарантирует минимум наибольшего в снижения (i по сравнению с предельно достижимым ее значением, обеспечиваемым решающими правилами Неймана — Пирсона для случая точно известных параметров задачи, а именно

где и Y имеют прежний смысл.

Как видно, отличие (3.22) от (3.4) проявляется в тех случаях, когда огибающая в пределах резко зависит от конкретных значений неизвестных параметров. При этом критерием качества решающего правила оказывается не минимальное значение а максимальная разность общем случае эти минимумы достигаются на различных подмножествах значений .

В задачах обнаружения сигналов иногда целесообразно применять принцип относительных потерь не ко всей области а только к мешающим параметрам. Пусть неизвестные параметры могут быть представлены совокупностью «полезного» параметра у, характеризующего отношение сигнала к помехе, и мешающего векторного параметра . В этом случае критерий (3.22) может быть заменен на

где

Здесь подмножество соответствующее фиксированному значению параметра множество решающих правил, обеспечивающих при фиксированном значении параметра шума

Критерий (3.23) предпочтительнее критерия (3.22) в тех случаях, когда конструктор заинтересован прежде всего в оптимизации пороговых характеристик обнаружения. При этом критерий контролирует максимальную нехватку мощности только по мешающим параметрам , а по параметру у применяется обычный (абсолютный) минимаксный принцип.

Возможен и альтернативный подход, когда относительная оптимизация производится по отношению к огибающей вероятности правильного обнаружения множества минимаксных решающих правил при известных параметрах у. В этом случае в (3.22) заменяется на

где - подмножество соответствующее фиксированному значению

В случаях, когда или идентичны или отличаются от нее на константу, соответствующие относительные критерии взаимно эквивалентны. В тех же случаях, когда рог или не зависят от , относительные минимаксные критерии (3.22) и (3.23), очевидно, эквивалентны критерию (3.4). Отметим, что все указанные случаи встречаются среди инвариантных задач обнаружения, рассматриваемых в этой работе.

Критерий (3.22) является модификацией так называемого строгого (наиболее строгого) критерия качества решающих правил математической статистики для проверки сложных статистических гипотез [138] с учетом ограничений на . Впервые строгие критерии были предложены Вальдом [145]. В наших обозначениях наиболее строгим решающим правилом по [87] является правило , удовлетворяющее при всех условию

где — огибающая функций мощности решающих правил для проверки исходной сложной гипотезы, удовлетворяющих условию (3.2), т. е.

В случае критерий (3.22) отличается от (3.26) не только размером области но и модифицированной огибающей функции мощности, которая при каждом определяется на множестве наиболее мощных решающих правил уровня а для проверки простых гипотез, соответствующих известным параметрам помехи При этом огибающая функций мощности в (3.26) определяется на множестве решающих правил уровня а для проверки сложных первоначальных гипотез, соответствующих всей области гипотез [см. также замечание по поводу (3.8) в п. 3.1.2].

Критерий (3.22) и его варианты можно рассматривать также как частные случаи критерия оптимизации статистических решающих функций [139] при дополнительном ограничении на множество решающих правил и в том числе по а.

Как известно, если минимаксное решающее правило по критерию (3.4) для не зависит от оно является также и наиболее строгим по критерию (3.26) (см. например, [87, 138]).

Следует отметить, что практическая значимость одной и той же нехватки мощности в области малых и больших (близких к единице) может быть существенно различной. Поэтому в таких случаях целесообразно нехватку мощности в относительных критериях заменить на ее взвешенный вариант вида , где весовая функция ) определяется желаниями конструктора. Например, при имеем

т. е. качество обнаружения при различных считается одинаковым, если одинаково отношение вероятности пропуска сигнала к ее минимальному возможному значению (при тех же ).

Критерий минимакса энергетических потерь.

Как будет проиллюстрировано в дальнейшем, появление неизвестных мешающих параметров, как правило, приводит к снижению качества обнаружения по сравнению с предельно возможным, достигаемым в случае априорно известных мешающих параметров. Практически это снижение качества нередко удобно измерять так называемыми энергетическими потерями, показывающими, во сколько раз следует увеличить мощность (энергию) полезного сигнала, а следовательно, и отношение сигнал-шум, чтобы компенсировать уменьшение вероятности правильного обнаружения. Это приводит к следующему относительному энергетическому критерию оптимальности решающего правила:

где пороговое энергетическое отношение сигнал-шум для при фиксированном и заданном значении то же для решающего правила, минимизирующего в при тех же условиях. Более точно определяется (3.17) и

где, как и в п.3.1.3, дополнительно предполагается, что множество W включает лишь решающие правила с монотонно возрастающей по y функцией мощности. Последнее предположение вполне естественно для задач обнаружения сигнала на фоне аддитивных помех и, по существу, могло быть принято и для всех предыдущих критериев оптимальности.

Эквивалентным вариантом критерия (3.27), соответствующим минимизации наибольших энергетических потерь в децибеллах, является критерий

При необходимости критерии (3.27) и (3.30) можно дополнительно обобщить заменой на если по характеру задачи допустимое качество обнаружения зависит от значений мешающих параметров Кроме того, критерий (3,27) можно распространить на некоторую область значений и, в частности, на интервал значений и ограничить произвольной областью значений . В этом случае, учитывая, что , вместо (3.28) можем написать

Как и ранее, множество W в (3.29) может быть заменено на Наконец, в случае, когда критерий (3.28) предусматривает минимизацию и, очевидно, эквивалентен энергетическому критерию (3.16).