9.3. Модели и статистические характеристики наблюдаемого радиолокационного сигнала

Пусть радиолокационная обстановка представляет собой процесс Рассмотрим радиолокатор, который для определенности будем предполагать импульсным. В моменты разделенные периодом повторения 7, радиолокатор производит зондирование пространства и получает сигналы Эти сигналы зависят соответственно от значений радиолокационной обстановки которые будем обозначать просто Радиолокационные сигналы хотя они обозначены простыми символами, на самом деле представляют собой функции времени.

Обычная ситуация такова. На интервале излучается зондирующий радиолокационный импульс, после чего на интервале до начала излучения следующего импульса, ведется прием отраженного сигнала. Принимаемый сигнал представляет собой функцию времени . В следующем такте на интервале излучается 2-й зондирующий импульс и на интервале ведется прием отраженного сигнала. При этом регистрируется функция и т. д.

Если считать, что в каждом такте локации идет свой отсчет времени от момента начала наблюдения, то все наблюдаемые сигналы оказываются заданными на одном и том же временном интервале Если пренебречь фактом невозможности приема отраженного сигнала во время излучения импульса, имеющим скорее практический, чем теоретический характер, то наблюдаемые сигналы можно считать заданными на отрезке .

Таким образом, сигнал, обозначенный в развернутом виде представляет собой функцию времени Более того, в случае многоканального приема функция может быть векторной. Для удобства дальнейшего изложения заменим сигнал совокупностью выборочных значений где Под при этом будем понимать вектор выборочных значений. Если сигнал сам по себе является векторной функцией, то размерность вектора соответственно увеличивается. В конечных выражениях, содержащих будем переходить к пределу, уменьшая интервал выборки и увеличивая ее объем п. Связь сигнала с радиолокационной обстановкой вообще говоря, вероятностная и характеризуется многомерной плотностью Вычисление этой плотности обычно представляет собой сложную задачу, однако для гауссовского отраженного сигнала и аддитивных помех ее решение хорошо известно.

Отметим, что есть плотность распределения вероятности шумового сигнала, поскольку объект по условию отсутствует; есть плотность распределения вероятностей

сигнала, отраженного от объекта с координатами (и, разумеется, смешанного с шумами). Отношение

называется отношением правдоподобия и играет важную роль в задачах обнаружения.

Рассмотрим ряд наиболее употребительных моделей радиолокационных сигналов и запишем для них отношение правдоподобия. Простейшая модель такова:

где — импульс известной формы; задержка; R — дальность до объекта; шум. Если белый шум со спектральной плотностью интенсивности , то

где — интервал выборки; .

Константа Е играет роль энергии сигнала. Отметим, что обычно длительность импульса значительно меньше периода радиолокации Т, благодаря чему Е не зависит от задержки сигнала т. В данном случае сигнал зависит только от одной координаты объекта — дальности. Ясно, что приведенная модель весьма идеализирована и далека от реальных радиолокационных задач и поэтому применяется для простейших иллюстраций.

Обычно для радиолокационных расчетов используется следующая модель. Предполагается, что прием отраженного сигнала ведется каналами, которым соответствуют комплексные диаграммы направленности , Обозначив через вектор-столбец из этих диаграмм, можем сказать, что принимается векторный сигнал

где — импульс известной формы; — задержка; R — дальность до объекта; — его угловые координаты; Е — случайная гауссовская комплексная амплитуда отраженного сигнала, определяющаяся отражающей поверхностью объекта, фазовыми набегами при распространении и фазой отражения, ослаблением при распространении

странении и т. д.; - векторный шум с независимыми компонентами.

Чтобы записать функционал отношения правдоподобия для сигнала (8.6), необходимо вычислить его корреляционную матрицу

где - операция транспонирования; (предполагается, что из-за равномерно распределенной фазы — единичная матрица; — спектральная плотность шума в одном канале (предполагается, что шумы белые, независимые в различных каналах, одинаковые по интенсивности).

Далее вычисляется обратная корреляционная матрица которая удовлетворяет уравнению

Решение уравнения (8.8) имеет вид

где v — неизвестная константа. Подстановка (8.7) и (8.9) в (8.8) дает

откуда

Здесь использовано нормировочное условие

Плотность вероятности -мерной выборки с интервалом из значений процесса (8.6), как известно, выражается формулой [17]

где — нормировочная константа, зависящая от интенсивности полезного сигнала, для определения которой имеем [17]

Учитывая (8.10), легко получить

Окончательно

При р = 0 это распределение переходит в . Отсюда функционал отношения правдоподобия оказывается равным

Рассмотрим еще одну модель, характерную для оптической локации. В задачах локации с помощью оптических сигналов нужно предполагать, что наблюдается не просто векторный сигнал, а поле на некоторой входной апертуре локатора. Это поле может быть записано в следующем виде:

где R — радиус-вектор объекта; — задержка; — импульс известной формы; — случайная комплексная (амплитуднофазовая) модуляция импульса, обусловленная относительной широкополосностью (частичной когерентностью) лазерных сигналов, мерцаниями яркости объекта в когерентном свете в связи с интерференцией отражений от микронеоднородностей поверхности объекта включены также ослабление сигнала оптического диапазона при распространении

в атмосфере и общая интенсивность отраженного сигнала); пространственно-временной шум на апертуре, обусловленный внешними шумовыми источниками, который с большой точностью можно полагать белым. Поскольку размеры приемной апертуры всегда значительно меньше расстояния до объекта, т. е. то можно использовать приближение

где — единичный вектор направления на объект, характеризующий угловое положение объекта. Сохранение квадратичного по члена в этом разложении, характеризующего френелевское приближение, весьма существенно для оптического диапазона волн. Корреляционная функция поля (8.14) равна

где корреляционная функция случайной комплексной модуляции сигнала, причем использована нормировка Обратная функция удовлетворяет уравнению

где — входная апертура. Решение уравнения (8.16) имеет вид

Подстановка (8.17) и (8.15) в (8.16) дает

Ввиду значительной относительной широкополосности лазерных сигналов функция и, следовательно, имеют вид узких пиков, ширина которых существенно меньше длительности

импульса . Поэтому уравнение (8.18) может быть переписано в виде

Преобразуя это равенство по Фурье по переменной получаем

Отсюда

Разумеется, это решение имеет место при , где время корреляции процесса (ширина пика функции

Плотность вероятности -мерной выборки из поля имеет вид

где — объем пространственно-временного элемента дискретизации. Для определения нормировочной константы имеем соотношение

Отсюда . Теперь мы можем записать функционал отношения правдоподобия

Таким образом, выражения (8.5), (8.19), (8.20) дают конкретные примеры отношения правдоподобия для различных локационных задач. Подчеркнем, что в качестве сигнала здесь, в порядке усложнения, выступают отрезок одномерного случайного процесса, отрезок -мерного случайного процесса, отрезок случайного поля из некоторой пространственно-временной области.

Сделаем еще одно предположение, которое обычно выполняется. Будем считать, что сигналы наблюдаемые в различных тактах локации, независимы между собой.